La pression de radiation et la voile solaire

Ce qu'on a le droit d'utiliser, et la stratégie. Les relations du photon, $E=h\nu =hc/\lambda$ et $p=h/\lambda$, et le principe fondamental de la dynamique sous sa forme « la force est la dérivée de la quantité de mouvement », avec le principe des actions réciproques. La stratégie est celle de toute la mécanique des flux : compter ce qui arrive pendant $\Delta t$, faire le bilan de la quantité de mouvement de ce qui arrive, et en déduire la force par l'action et la réaction.

a) Le débit de photons. Chaque photon porte l'énergie $hc/\lambda$. La puissance $P$ est l'énergie apportée par seconde, donc $$\dot{N}=\frac{P}{hc/\lambda }=\frac{P\lambda }{hc}.$$ Chaque photon porte la quantité de mouvement $p=h/\lambda$, dirigée selon la propagation. Et comme $E=hc/\lambda$, on a bien $p=h/\lambda =E/c$ : pour le photon, impulsion et énergie sont proportionnelles, le coefficient étant la vitesse de la lumière.

b) Surface absorbante. Pendant $\Delta t$, la surface reçoit $\dot{N}\Delta t$ photons. Avant l'impact, ils portent ensemble la quantité de mouvement $\dot{N}\Delta t\frac{h}{\lambda }$, normale à la surface ; après, ils ont été absorbés et ne portent plus rien. La variation de quantité de mouvement de la lumière vaut donc $-\dot{N}\Delta t\frac{h}{\lambda }$ : la surface a exercé sur la lumière une force moyenne $-\dot{N}\frac{h}{\lambda }$. Par le principe des actions réciproques, la lumière exerce sur la surface la force opposée, de norme $$F=\dot{N}\frac{h}{\lambda }=\frac{P\lambda }{hc}\cdot \frac{h}{\lambda }=\frac{P}{c}.$$

Pourquoi $\lambda$ a disparu. Une lumière plus rouge apporte, à puissance égale, plus de photons mais chacun moins chargé de quantité de mouvement ; le produit ne dépend que de la puissance. C'est l'expression d'un fait simple : le flux de quantité de mouvement est le flux d'énergie divisé par $c$, parce que c'est vrai photon par photon.

Homogénéité. $P/c$ s'exprime en $\mathrm{W}/(\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1})=\mathrm{J}{\mathrm{s}}^{-1}{\mathrm{m}}^{-1}\mathrm{s}=\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-1}=\mathrm{N}$ : c'est bien une force.

c) Surface réfléchissante. Sous incidence normale, un photon réfléchi repart avec la quantité de mouvement opposée : sa variation est $-2h/\lambda$ au lieu de $-h/\lambda$. Le même bilan donne $$F=2\dot{N}\frac{h}{\lambda }=\frac{2P}{c}.$$ Un miroir est poussé deux fois plus fort qu'un écran noir : c'est le rebond qui double la poussée, exactement comme une balle qui rebondit sur un mur lui transmet deux fois plus de quantité de mouvement qu'une balle qui s'y colle.

d) Le pointeur laser. $$\dot{N}=\frac{1,0\times 10^{-3}\times 633\times 10^{-9}}{6,63\times 10^{-34}\times 3,00\times 10^8}\approx 3,2\times 10^{15}{\mathrm{s}}^{-1}$$ et $$F=\frac{P}{c}=\frac{1,0\times 10^{-3}}{3,00\times 10^8}\approx 3,3\times 10^{-12}\mathrm{N}.$$ Le poids d'un grain de poussière de $1\mu \mathrm{g}$ vaut $10^{-9}\times 9,8\approx 9,8\times 10^{-9}\mathrm{N}$ : la force lumineuse en est le trois-millième environ. Elle égalerait le poids d'une masse de $F/g\approx 3\times 10^{-13}\mathrm{kg}$, soit $0,3\mathrm{ng}$. La lumière d'un pointeur pousse, mais trois mille fois moins qu'il ne faudrait pour soulever un grain de poussière.

Pourquoi cela paraît continu. Trois millions de milliards de chocs par seconde, chacun de $p\approx 1,0\times 10^{-27}\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : aucun instrument mécanique ne résout des impulsions aussi petites et aussi serrées. Le caractère granulaire n'apparaît que lorsque le nombre de photons devient petit — on y reviendra à l'exercice 9.

e) La voile IKAROS. La surface vaut $S=14^2=196{\mathrm{m}}^2$ et la puissance reçue $\Phi S\approx 2,67\times 10^5\mathrm{W}$. Pour une voile parfaitement réfléchissante face au Soleil, $$F_{\max }=\frac{2\Phi S}{c}=\frac{2\times 1,36\times 10^3\times 196}{3,00\times 10^8}\approx 1,8\times 10^{-3}\mathrm{N},$$ d'où l'accélération $$a=\frac{F_{\max }}{m}=\frac{1,8\times 10^{-3}}{315}\approx 5,6\times 10^{-6}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}.$$ En trente jours, soit $2,6\times 10^6\mathrm{s}$, une poussée constante donnerait $\Delta v=a\Delta t\approx 15\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.

L'écart avec la mesure. La force mesurée, environ $1,1\mathrm{mN}$, est à peu près les deux tiers de la valeur maximale. Deux raisons, qui ne demandent que ce qu'on vient d'établir : la voile n'est pas un miroir parfait — une partie de la lumière est absorbée ou diffusée, et pour ces photons la poussée tombe de $2P/c$ vers $P/c$ ; la voile n'est pas exactement face au Soleil — sous incidence oblique, elle intercepte moins de lumière et chaque rebond ne transmet que la composante normale de la quantité de mouvement.

Ordre de grandeur commenté. Cette accélération est près de deux millions de fois plus faible que la pesanteur terrestre ; mais elle ne coûte aucun carburant et ne s'arrête pas : quinze mètres par seconde par mois, chaque mois.

Ce que l'exercice installe. Le photon n'est pas qu'un paquet d'énergie : c'est un porteur de quantité de mouvement, et un bilan de quantité de mouvement sur un flux de photons se fait comme sur un jet de billes. La relation $p=E/c$ fait de la pression de radiation une conséquence directe de la puissance : $P/c$ pour un absorbant, $2P/c$ pour un miroir, quelle que soit la couleur. On retrouve aussi un réflexe constant de ce chapitre : le grain est réel, mais il ne se voit que si l'on en compte peu.