Problème : l'effet photoélectrique et la mesure de $h$ (Einstein 1905, Millikan 1916)

La stratégie d'ensemble. La mécanique de première année traduit une mesure électrique — une tension qui annule un courant — en une mesure d'énergie cinétique. La relation d'Einstein dit alors que cette énergie est une fonction affine de la fréquence, de pente $h$. Il reste à vérifier que les mesures sont alignées, et à lire $h$ sur la pente.

1) Le potentiel d'arrêt. Entre la cathode, de potentiel $0$, et l'anode, de potentiel $-U$, l'électron de charge $-e$ subit la force électrique ; son travail de la cathode à l'anode vaut $q(V_{\mathrm{cathode}}-V_{\mathrm{anode}})=-e(0-(-U))=-eU$. On néglige le poids, d'après les ordres de grandeur de mécanique. Le théorème de l'énergie cinétique donne, à l'arrivée sur l'anode, $${\mathcal{E}}_{c,\mathrm{anode}}={\mathcal{E}}_c-eU.$$ L'électron atteint l'anode si et seulement si cette quantité reste positive en chemin, c'est-à-dire si ${\mathcal{E}}_c>eU$ ; sinon il s'arrête et rebrousse chemin vers la cathode.

Le courant s'annule quand même les électrons les plus rapides sont arrêtés, c'est-à-dire quand $eU⩾{\mathcal{E}}_{c,\max }$. La plus petite tension qui annule le courant vérifie donc $e{U}_0={\mathcal{E}}_{c,\max }$, et par la relation d'Einstein, $$e{U}_0=h\nu -W.$$ Le point délicat. Ce sont les électrons les plus rapides qui fixent $U_0$, pas les électrons moyens : les électrons émis ont des énergies réparties entre $0$ et ${\mathcal{E}}_{c,\max }$, selon la profondeur d'où ils viennent, et seule la borne supérieure a une valeur universelle.

2) La raie verte et l'encadrement. L'absence de courant même à $U=0$ signifie qu'aucun électron n'est émis : un photon de $546,1\mathrm{nm}$ porte $hc/\lambda \approx 2,28\mathrm{eV}$, ce qui est insuffisant pour vaincre $W$. Donc $W>2,28\mathrm{eV}$. La raie de $435,8\mathrm{nm}$, elle, émet : ses photons portent $hc/\lambda \approx 2,85\mathrm{eV}>W$. D'où l'encadrement $$2,28\mathrm{eV}<W<2,85\mathrm{eV}.$$ On peut d'ailleurs déjà le resserrer avec la mesure : $W=2,85-0,56=2,29\mathrm{eV}$ pour cette raie, en accord avec l'encadrement.

3) La droite. Les fréquences $\nu =c/\lambda$ valent, en $10^{14}\mathrm{Hz}$ :

Placés sur un graphe, les cinq points sont alignés à quelques centièmes de volt près, l'incertitude des mesures. La relation du 1) s'écrit $$U_0=\frac{h}{e}\nu -\frac{W}{e}:$$ la pente est $h/e$, l'ordonnée à l'origine est $-W/e$.

À la main, sur les deux points extrêmes : pente $\approx (2,59-0,56)/((11,82-6,88)\times 10^{14})\approx 4,11\times 10^{-15}\mathrm{V}\mathrm{s}$.

Par régression linéaire sur les cinq points :

import numpy as np
c, e = 3.00e8, 1.60e-19
lam = np.array([435.8, 404.7, 365.0, 312.6, 253.7]) * 1e-9  # m
U0 = np.array([0.56, 0.75, 1.12, 1.66, 2.59])                # V
nu = c / lam
pente, ordo = np.polyfit(nu, U0, 1)       # U0 = pente*nu + ordo
print(f"h/e = {pente:.3e} V.s, h = {pente*e:.3e} J.s")
print(f"W = {-ordo:.2f} eV, nu0 = {-ordo/pente:.3e} Hz")
print(f"lambda0 = {c*pente/(-ordo)*1e9:.0f} nm")

L'exécution affiche :

h/e = 4.121e-15 V.s, h = 6.593e-34 J.s
W = 2.29 eV, nu0 = 5.545e+14 Hz
lambda0 = 541 nm

D'où les résultats : $$\frac{h}{e}\approx 4,12\times 10^{-15}\mathrm{V}\mathrm{s},h\approx 6,59\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s},W\approx 2,29\mathrm{eV}.$$ La fréquence seuil est celle où la droite coupe l'axe : ${\nu }_0=W/h\approx 5,5\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, soit ${\lambda }_0=c/{\nu }_0\approx 541\mathrm{nm}$. La raie verte, à $546,1\mathrm{nm}$, est juste au-delà du seuil : cohérent avec l'absence de courant. La valeur de $h$ est à $0,5\%$ de la valeur actuelle.

Homogénéité. $h/e$ s'exprime en $\mathrm{J}\mathrm{s}{\mathrm{C}}^{-1}=\mathrm{V}\mathrm{s}$ : une tension divisée par une fréquence, comme une pente de $U_0$ en fonction de $\nu$ doit l'être.

4) Doubler l'intensité. Doubler l'intensité double le nombre de photons par seconde, sans changer l'énergie de chacun. Chaque électron émis reçoit toujours l'énergie d'un seul photon, $h\nu$ : ${\mathcal{E}}_{c,\max }$ et donc $U_0$ sont inchangés. Le nombre d'électrons émis par seconde double, et avec lui le courant de saturation.

Le modèle ondulatoire prédisait l'inverse sur les deux points : l'énergie reçue par chaque électron croissant avec l'intensité, le potentiel d'arrêt aurait dû augmenter avec l'intensité ; et, la fréquence n'intervenant pas dans l'énergie reçue, la raie verte aurait dû émettre si on l'avait rendue assez intense. Avec l'exercice 2, cela fait trois prédictions ondulatoires démenties : le retard, le seuil, et la dépendance de l'énergie en l'intensité.

5) Le courant de saturation. Le débit de photons vaut $P\lambda /(hc)$ ; une fraction $\eta$ d'entre eux arrache chacun un électron de charge $e$. Donc $$I_{\mathrm{sat}}=\eta e\frac{P\lambda }{hc}=10^{-3}\times 1,60\times 10^{-19}\times \frac{1,0\times 10^{-6}\times 253,7\times 10^{-9}}{6,63\times 10^{-34}\times 3,00\times 10^8}\approx 2\times 10^{-10}\mathrm{A}.$$ Deux cents picoampères : un courant très faible, qui exige un électromètre sensible. On comprend que la mesure de Millikan ait été une prouesse expérimentale — il lui fallait de surcroît des surfaces métalliques parfaitement propres, qu'il grattait sous vide.

6) Le bilan. L'écart relatif de la valeur de Millikan vaut $$\frac{6,57-6,626}{6,626}\approx -0,8\%.$$

Pourquoi la droite impose le photon. Trois faits, chacun lu sur la droite. Le seuil : en dessous de ${\nu }_0$, aucun électron, quelle que soit l'intensité ; une onde dont l'énergie s'accumule n'a pas de seuil en fréquence. La pente : elle vaut $h/e$, où $h$ est la constante que Planck avait introduite pour le rayonnement thermique, sans aucun rapport avec les électrons d'un métal ; retrouver la même constante ici dit que l'énergie lumineuse s'échange par quanta $h\nu$. L'universalité : changer de métal décale la droite, parce que $W$ change, mais ne change pas sa pente ; ce qui ne dépend pas du métal appartient à la lumière. C'est la lumière qui est granulaire, par paquets $h\nu$, et non le métal qui aurait une manière particulière d'absorber.

Le résultat établi — la relation d'Einstein de l'effet photoélectrique, vérifiée par Millikan. Le potentiel d'arrêt d'une cellule photoélectrique est une fonction affine de la fréquence de la lumière, $e{U}_0=h\nu -W$, de pente universelle $h/e$, et indépendante de l'intensité ; la mesure de cette pente donne la constante de Planck. Cette loi n'a d'explication que si la lumière cède son énergie par grains $h\nu$, chacun à un seul électron : c'est l'expérience qui impose la notion de photon. Einstein reçut le prix Nobel de 1921 pour cette loi, et Millikan celui de 1923, en partie pour l'avoir vérifiée.

Ce que le problème installe. Une manière de faire de la physique quantique au niveau du programme : une seule relation quantique, $E=h\nu$, combinée à de la mécanique classique — le théorème de l'énergie cinétique et le travail de la force électrique — suffit à fabriquer une expérience décisive. On y a aussi appris à exploiter une série de mesures : vérifier un alignement, lire une pente et une ordonnée à l'origine, donner leur sens physique, et confronter le résultat à la valeur admise. Enfin, le problème montre ce qu'est un argument expérimental : non pas une mesure isolée, mais une loi — un seuil, une pente, une universalité — que le modèle concurrent ne peut pas reproduire.