Une même longueur d'onde, trois sondes : photon X, électron, neutron

La stratégie. Une même longueur d'onde impose une même quantité de mouvement, $p=h/\lambda$. C'est la relation entre $p$ et l'énergie qui distingue les sondes : $E=pc$ pour le photon, ${\mathcal{E}}_c=p^2/(2m)$ pour une particule massive lente.

a) Le photon X. $E=hc/\lambda =\frac{6,63\times 10^{-34}\times 3,00\times 10^8}{0,20\times 10^{-9}}\approx 9,9\times 10^{-16}\mathrm{J}\approx 6,2\mathrm{keV}$.

b) Électron et neutron. Pour une particule de masse $m$, ${\mathcal{E}}_c=\frac{p^2}{2m}=\frac{h^2}{2m{\lambda }^2}$. D'où $${\mathcal{E}}_{c,e}=\frac{(6,63\times 10^{-34}{)}^2}{2\times 9,11\times 10^{-31}\times (0,20\times 10^{-9}{)}^2}\approx 6,0\times 10^{-18}\mathrm{J}\approx 38\mathrm{eV},$$ $${\mathcal{E}}_{c,n}=\frac{(6,63\times 10^{-34}{)}^2}{2\times 1,675\times 10^{-27}\times (0,20\times 10^{-9}{)}^2}\approx 3,3\times 10^{-21}\mathrm{J}\approx 20\mathrm{meV}.$$ Pour le photon, $E=hc/\lambda$ varie comme $1/\lambda$ ; pour une particule massive, ${\mathcal{E}}_c=h^2/(2m{\lambda }^2)$ varie comme $1/{\lambda }^2$. À $\lambda$ fixée, ${\mathcal{E}}_c$ est inversement proportionnelle à la masse, et ${\mathcal{E}}_{c,e}/{\mathcal{E}}_{c,n}=m_n/m_e\approx 1840$. Trois sondes de même longueur d'onde, et trois énergies qui s'échelonnent sur cinq ordres de grandeur : $6\mathrm{keV}$, $38\mathrm{eV}$, $20\mathrm{meV}$.

Vérification de cohérence. Les deux cadres sont-ils légitimes ? Pour l'électron, $38\mathrm{eV}\ll 511\mathrm{keV}$ : newtonien. Pour le neutron, a fortiori.

c) Les neutrons thermiques. $k_{B}T$ à $300\mathrm{K}$ vaut $0,026\mathrm{eV}=26\mathrm{meV}$ : l'énergie du neutron de $0,2\mathrm{nm}$ est du même ordre que l'agitation thermique ambiante. Il suffit donc de ralentir les neutrons d'un réacteur par chocs successifs dans un matériau à température ordinaire pour qu'ils aient, d'eux-mêmes, la bonne longueur d'onde : d'où leur nom. Leur vitesse vaut $v=h/(m_n\lambda )\approx 2000\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Pour $v=2200\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $$\lambda =\frac{h}{m_{n}v}=\frac{6,63\times 10^{-34}}{1,675\times 10^{-27}\times 2200}\approx 0,18\mathrm{nm},$$ pile dans le domaine des distances interatomiques.

d) Le rôle de la masse. À vitesse égale, $\lambda =h/(mv)$ est inversement proportionnelle à la masse : l'électron, $1840$ fois plus léger, aurait une longueur d'onde $1840$ fois plus grande, environ $0,33\mu \mathrm{m}$, celle d'une lumière ultraviolette. À vitesse égale, plus c'est lourd, plus l'onde est courte ; à longueur d'onde égale, plus c'est lourd, plus l'énergie est faible.

e) Pourquoi des neutrons. Le neutron n'a pas de charge : il n'est pas freiné par les nuages électroniques et pénètre profondément dans la matière, là où les électrons de $38\mathrm{eV}$ s'arrêtent dans les premières couches atomiques. Il interagit avec les noyaux, et non avec les électrons : il « voit » donc les atomes légers comme l'hydrogène, presque invisibles aux rayons X, qui sont diffusés par les électrons. Et son énergie de quelques centièmes d'électronvolt ne casse rien.

Ce que l'exercice installe. Une longueur d'onde fixe la quantité de mouvement, pas l'énergie : $E\propto 1/\lambda$ pour le photon, ${\mathcal{E}}_c\propto 1/(m{\lambda }^2)$ pour une particule massive. On retient aussi un repère : à l'échelle des distances atomiques, il faut des kiloélectronvolts pour un photon, des dizaines d'électronvolts pour un électron, et seulement l'énergie thermique ambiante pour un neutron.