physique des ondes (PTSI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Problème : le diagramme de Wadati, dater et localiser un séisme

Signaux physiques et ondes progressives · B. Propagation : l'onde progressive · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un séisme superficiel émet, à l'instant inconnu $t_{0}$ et depuis un point inconnu (l'épicentre, ramené à la surface), deux types d'ondes : les ondes P (compression), de célérité $c_{P} = 6, 0 km s^{- 1}$ , et les ondes S (cisaillement), de célérité $c_{S}$ inconnue. On modélise la croûte terrestre comme un milieu homogène, non dispersif, et l'on suppose que les ondes vont en ligne droite de l'épicentre aux stations. Quatre stations enregistrent les instants d'arrivée suivants (en secondes après 14 h 32 min 00 s ; positions dans un repère plan, en kilomètres) :

Station	Position (km)	$t_{P}$ (s)	$t_{S}$ (s)
A	$(0; 0)$	$12, 33$	$18, 29$
B	$(100; 0)$	$17, 44$	$27, 04$
C	$(0; 90)$	$13, 72$	$20, 66$
D	$(80; 80)$	$14, 67$	$22, 29$

1) Pourquoi une station enregistre-t-elle deux arrivées pour un séisme unique ? Exprimer $t_{P}$ et $t_{S}$ en fonction de $t_{0}$ et de la distance $d$ de la station à l'épicentre.

2) Montrer que $t_{S} - t_{P} = (\frac{c _{P}}{c _{S}} - 1) (t_{P} - t_{0}),$ et en déduire que les points $(t_{P}, t_{S} - t_{P})$ des quatre stations sont alignés sur une droite, la même pour toutes les stations, quelle que soit leur distance à l'épicentre.

3) Tracer les quatre points (ou effectuer une régression affine, par exemple avec numpy.polyfit). En déduire $c_{P} / c_{S}$ , $c_{S}$ et la date $t_{0}$ du séisme.

4) Calculer la distance de chaque station à l'épicentre. Déterminer les deux positions possibles de l'épicentre à l'aide des seules stations A et B, puis utiliser la station C pour choisir entre elles.

5) Contrôler le résultat avec la station D. Avec quatre stations et trois inconnues (les deux coordonnées de l'épicentre et $t_{0}$ ), comment exploiter toutes les données à la fois ?

6) Ordres de grandeur et limites du modèle : comparer $c_{P} / c_{S}$ à $3 \approx 1, 73$ , valeur typique des roches de la croûte. Pourquoi la méthode cesse-t-elle de valoir telle quelle pour un séisme lointain, à 3000 km ? Quelle erreur sur la date et sur les distances entraîne une imprécision de 0,1 s sur les pointés ?

Corrigé

1) Deux arrivées pour un séisme. Les deux ondes partent ensemble, à l'instant $t_{0}$ , du même point ; elles parcourent la même distance $d$ jusqu'à la station, mais à des célérités différentes. La plus rapide, l'onde P, arrive la première, l'onde S ensuite ; d'où les deux « bouffées » du sismogramme. Le retard de chacune vaut distance sur célérité : $t_{P} = t_{0} + \frac{d}{c _{P}}, t_{S} = t_{0} + \frac{d}{c _{S}} .$

2) La droite de Wadati. Par différence, $t_{S} - t_{P} = d (\frac{1}{c _{S}} - \frac{1}{c _{P}})$ . Or, d'après la première relation, $d = c_{P} (t_{P} - t_{0})$ . En substituant : $t_{S} - t_{P} = c_{P} (t_{P} - t_{0}) (\frac{1}{c _{S}} - \frac{1}{c _{P}}) = (\frac{c _{P}}{c _{S}} - 1) (t_{P} - t_{0}) .$ Dans le plan $(t_{P}, t_{S} - t_{P})$ , c'est l'équation d'une droite de pente $\frac{c _{P}}{c _{S}} - 1$ , qui coupe l'axe des abscisses en $t_{P} = t_{0}$ . La distance $d$ a disparu : la pente ne dépend que du milieu, l'intersection avec l'axe que de la date du séisme. Toutes les stations, proches ou lointaines, sont sur la même droite ; une station lointaine est simplement plus à droite. Le point délicat : on a éliminé l'inconnue $d$ , propre à chaque station, au profit de $t_{P}$ , qui est mesuré. C'est ce qui rend la méthode utilisable avant même de savoir où est l'épicentre.

3) Le tracé. Les quatre points sont $(12, 33; 5, 96)$ , $(17, 44; 9, 60)$ , $(13, 72; 6, 94)$ et $(14, 67; 7, 62)$ . Une régression affine donne la pente et l'ordonnée à l'origine, puis $t_{0} = - ordonn e ˊ e / pente$ ; le même script poursuit jusqu'aux distances et à l'épicentre, utilisés aux questions 4 et 5.

import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares

cP = 6.0                       # km/s
pos = np.array([[0, 0], [100, 0], [0, 90], [80, 80]], float)  # km
tP = np.array([12.33, 17.44, 13.72, 14.67])  # s apres 14 h 32
tS = np.array([18.29, 27.04, 20.66, 22.29])

pente, ordo = np.polyfit(tP, tS - tP, 1)     # droite de Wadati
t0 = -ordo / pente
print(f"cP/cS = {1 + pente:.3f}   t0 = {t0:.2f} s")

d = cP * (tP - t0)                           # distances (km)
print("distances (km) :", np.round(d, 1))

def ecarts(q):                # 4 equations, 3 inconnues
    X, Y, T = q
    return T + np.hypot(pos[:, 0] - X, pos[:, 1] - Y) / cP - tP

X, Y, T = least_squares(ecarts, [50, 50, 0]).x
print(f"epicentre ({X:.1f} ; {Y:.1f}) km   t0 = {T:.2f} s")

Résultat obtenu en l'exécutant :

cP/cS = 1.713   t0 = 3.98 s
distances (km) : [50.1 80.8 58.5 64.2]
epicentre (30.0 ; 40.0) km   t0 = 4.00 s

La pente vaut $0, 713$ , donc $\frac{c _{P}}{c _{S}} = 1, 71$ et $c_{S} = \frac{6 , 0}{1 , 71} \approx 3, 5 km s^{- 1}$ . La droite coupe l'axe en $t_{0} = 3, 98$ s : le séisme a eu lieu vers 14 h 32 min 04 s. Les écarts des points à la droite sont de quelques millisecondes, cohérents avec des pointés arrondis au centième de seconde.

4) Distances et épicentre. On utilise $d = c_{P} (t_{P} - t_{0})$ : $d_{A} = 50, 1 km, d_{B} = 80, 8 km, d_{C} = 58, 5 km, d_{D} = 64, 2 km .$ L'épicentre $(x; y)$ est sur le cercle de centre A et de rayon $d_{A}$ , et sur le cercle de centre B et de rayon $d_{B}$ : $x^{2} + y^{2} = d_{A}^{2}, (x - 100)^{2} + y^{2} = d_{B}^{2} .$ Par différence, $200 x - 1 0^{4} = d_{A}^{2} - d_{B}^{2}$ , d'où $x = \frac{d _{A}^{2} - d _{B}^{2} + 1 0 ^{4}}{200} = 29, 9$ km, puis $y = \pm d_{A}^{2} - x^{2} = \pm 40, 2$ km. Deux cercles se coupent en deux points, symétriques par rapport à la droite (AB). La station C tranche : la distance de C au point $(29, 9; 40, 2)$ vaut $58, 1$ km, proche des $58, 5$ km mesurés, alors que le point $(29, 9; - 40, 2)$ serait à $134$ km de C. L'épicentre est donc en $(29, 9; 40, 2)$ km.

5) Contrôle et exploitation globale. La station D est à $64, 0$ km du point trouvé, pour $64, 2$ km mesurés : accord à $0, 2$ km près, soit l'effet d'une erreur de $0, 03$ s sur un pointé. Avec quatre stations, on a quatre équations $t_{P, i} = t_{0} + \frac{( x _{i} - X ) ^{2} + ( y _{i} - Y ) ^{2}}{c _{P}}$ pour trois inconnues $(X, Y, t_{0})$ : on rend minimale la somme des carrés des écarts entre instants calculés et mesurés (moindres carrés). Le script donne $(30, 0; 40, 0)$ km et $t_{0} = 4, 00$ s, en accord avec ce qui précède ; la redondance réduit l'effet des erreurs de pointé.

6) Ordres de grandeur et limites.

Le rapport des célérités. $c_{P} / c_{S} = 1, 71$ , très proche de $3 = 1, 73$ , valeur typique des roches de la croûte ; les célérités, $6, 0$ et $3, 5 km s^{- 1}$ , sont celles de la croûte supérieure. Une règle pratique en découle : $d = \frac{t _{S} - t _{P}}{1/ c _{S} - 1/ c _{P}} \approx 8, 4 km$ par seconde d'écart entre les deux arrivées — l'équivalent sismique des « trois secondes par kilomètre » de l'orage. Ainsi un écart de $8, 0$ s situe la station à environ $67$ km de l'épicentre.

Le séisme lointain. À 3000 km, les ondes descendent à des centaines de kilomètres de profondeur, où les célérités sont plus grandes : le milieu n'est plus homogène, les rais se courbent, et $d = c (t - t_{0})$ est fausse. On utilise alors des tables de temps de trajet pour une Terre stratifiée ; le principe des deux ondes demeure.

La précision. Si l'on arrondit les pointés au dixième de seconde, la régression donne $t_{0} \approx 3, 8$ s au lieu de $4, 0$ s. Une erreur de $0, 2$ s sur $t_{0}$ se reporte sur toutes les distances, $δ d = c_{P} δ t_{0} \approx 1$ km ; une erreur de $0, 1$ s sur un seul pointé $t_{P}$ déplace d'environ $0, 6$ km la distance correspondante. La localisation se joue sur les centièmes de seconde.

Le résultat obtenu : le diagramme de Wadati. Pour un séisme enregistré par plusieurs stations dans un milieu homogène et non dispersif, les points $(t_{P}, t_{S} - t_{P})$ sont alignés sur une droite de pente $c_{P} / c_{S} - 1$ qui coupe l'axe des temps à la date du séisme ; la date et le rapport des célérités se lisent sans connaître la position de l'épicentre, que trois stations suffisent ensuite à localiser par intersection de cercles.

Ce que l'exercice installe. Éliminer l'inconnue propre à chaque mesure (ici la distance) pour faire apparaître une relation commune à toutes, puis l'exploiter par une régression : c'est la démarche de toute mesure physique. Le problème réunit le chapitre — retard, deux célérités, triangulation — et en montre la limite : le milieu homogène vaut pour une région de cent kilomètres, pas pour le globe.

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