Reconnaître une onde progressive

La stratégie. $(\star )$ traduit « le profil se translate sans se déformer ». On montre qu'elle équivaut à l'écriture $F(x-ct)$, qui donne un test pratique, puis on démonte le modèle hypothèse par hypothèse avec des signaux qui ressemblent à des ondes.

1) L'équivalence.

Sens direct. Supposons $(\star )$ et posons $F(u)=s(u,0)$ : c'est la photographie à l'instant $0$. Soient $x$ et $t$ quelconques. Appliquons $(\star )$ au point d'abscisse $x-ct$, à l'instant $0$, avec $\Delta t=t$ : $$s((x-ct)+ct,0+t)=s(x-ct,0),\text{c’est-aˋ-dire}s(x,t)=F(x-ct).$$

Sens réciproque. Si $s(x,t)=F(x-ct)$, alors $s(x+c\Delta t,t+\Delta t)=F(x+c\Delta t-ct-c\Delta t)=F(x-ct)=s(x,t)$ : $(\star )$ est vraie.

L'autre écriture. Posons $f(v)=F(-cv)$. Alors $F(x-ct)=F(-c(t-x/c))=f(t-x/c)$. Et $f(t)=s(0,t)$ : $f$ est le chronogramme en $x=0$, comme $F$ était la photographie à $t=0$. La relation $f(v)=F(-cv)$ dit déjà que le chronogramme est la photographie renversée et changée d'échelle d'un facteur $c$ : c'est l'objet de l'exercice 5.

Vers les $x$ décroissants. Le critère devient $s(x-c\Delta t,t+\Delta t)=s(x,t)$, équivalent de la même façon à $s(x,t)=G(x+ct)=g(t+x/c)$.

2) Lire le sens et la célérité. Il suffit de mettre en facteur le coefficient de $x$ dans l'argument.

• $s_1$ : $3x-6t=3(x-2t)$, donc $s_1=F(x-2t)$ avec $F(u)=A{\mathrm{e}}^{-9u^2}$. Propagation vers les $x$ croissants, à $c=2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Homogénéité : le $3$ est en ${\mathrm{m}}^{-1}$ et le $6$ en ${\mathrm{s}}^{-1}$ ; leur rapport $6/3$ est bien en $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.
• $s_2$ dépend de $x+4t$ : propagation vers les $x$ décroissants, à $4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.
• $s_3$ : le carré efface le signe, $(2x-t{)}^2=4(x-t/2{)}^2$, donc $s_3=F(x-t/2)$ : propagation vers les $x$ croissants à $0,5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. La seule lecture sûre est la mise en facteur : $x$ et $t$ doivent apparaître dans la combinaison $x-ct$ ou $x+ct$, avec $c>0$.

3) Trois façons de ne pas être une onde progressive.

$s_4$ : rien ne se propage. À chaque instant, la photographie $x\mapsto s_4(x,t)$ est une gaussienne centrée en $x=0$ ; seule sa hauteur $A{\mathrm{e}}^{-t^2/{\tau }^2}$ varie. Le sommet ne bouge pas : une perturbation naît et meurt sur place, comme une lampe qu'on allume puis qu'on éteint. Si l'on avait $s_4=F(x-ct)$ avec $c>0$, le sommet se déplacerait à la vitesse $c$. Le critère $(\star )$ est en défaut pour toute valeur de $c$ : il manque l'idée même de propagation.

$s_5$ : le milieu absorbe. Calculons $s_5(x+c\Delta t,t+\Delta t)=A{\mathrm{e}}^{-(x+c\Delta t)/\delta }{\mathrm{e}}^{-(x-ct{)}^2/a^2}={\mathrm{e}}^{-c\Delta t/\delta }{s}_5(x,t)$. Le profil est bien translaté de $c\Delta t$, mais multiplié par ${\mathrm{e}}^{-c\Delta t/\delta }<1$ : il s'affaiblit en avançant, d'un facteur $\mathrm{e}$ tous les $\delta$ parcourus. C'est l'hypothèse « transparent » qui tombe : le milieu prélève de l'énergie au signal (son dans un matériau absorbant, lumière dans une eau trouble).

$s_6$ : le profil s'étale. Le sommet est en $x=ct$ : il avance bien à la vitesse $c$. Mais la largeur vaut $a\sqrt{1+t/\tau }$ et croît, tandis que la hauteur $A\sqrt{\tau /(\tau +t)}$ décroît. Le profil n'est pas translaté, il se déforme : $(\star )$ est en défaut. Le produit hauteur $\times$ largeur reste constant, et l'aire sous la courbe aussi (elle vaut $Aa\sqrt{\pi }$ à tout instant) : rien n'est perdu, tout est redistribué. C'est exactement ce que fait un milieu dispersif, que le chapitre suivant définira : une impulsion s'y élargit et s'y aplatit en conservant son aire.

L'hypothèse « illimité » tombe dès qu'il existe un bord : il y naît une onde réfléchie (exercice 7).

4) Ce que l'on mesurerait. Pour $s_5$, le sommet est en $x=ct$ (décalé de $-a^2/(2\delta )$, quelques centimètres, par le facteur exponentiel qui penche la gaussienne), la largeur reste $a$ et la hauteur décroît comme ${\mathrm{e}}^{-ct/\delta }$ : entre $0$ et $4$ s, le sommet avance de $4$ m et la hauteur est divisée par ${\mathrm{e}}^{4/3}\approx 3,8$, l'aire aussi. Pour $s_6$, le sommet avance aussi de $4$ m, la largeur est multipliée par $\sqrt{1+4/2}=\sqrt{3}\approx 1,73$, la hauteur divisée par $\sqrt{3}$, et l'aire reste égale à $Aa\sqrt{\pi }\approx 0,89A$ (en mètres) : un étalement à aire constante.

Deux capteurs sur $s_5$. Oui : deux capteurs en $x_1$ et $x_2$ enregistrent deux chronogrammes de même forme, l'un plus faible que l'autre, décalés de $(x_2-x_1)/c$. Le retard mesure encore la célérité. L'absorption change l'amplitude, pas le retard ; la dispersion, elle, change la forme, et c'est elle qui rend la notion de « retard d'une impulsion » délicate.

Ce que l'exercice installe. Le critère « $s$ ne dépend que de $x-ct$ » est la définition opératoire de l'onde progressive, et il se teste par une mise en facteur. Chacune des trois hypothèses du modèle a un contre-exemple qu'on sait reconnaître sur une photographie : une perturbation immobile (pas de propagation), un profil qui s'affaiblit (milieu non transparent), un profil qui s'élargit (milieu dispersif, chapitre 2).