physique des ondes (PTSI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Télémétrie par impulsions : portée et résolution

Signaux physiques et ondes progressives · C. Évolution temporelle et spatiale · niveau 2

Énoncé

Un télémètre émet des impulsions de durée $τ$ , répétées à la cadence $f_{r} = 1/ T_{r}$ , et reçoit leurs échos sur les obstacles ; un même transducteur sert à l'émission et à la réception, et ne peut pas écouter pendant qu'il émet. On étudie deux appareils : un capteur de recul de voiture (ultrasons à 40 kHz, $c = 340 m s^{- 1}$ , salves de $τ = 1, 0$ ms, 20 mesures par seconde) et un radar ( $c = 3, 0 \times 1 0^{8} m s^{- 1}$ , $τ = 1, 0 μ$ s, $f_{r} = 1, 0$ kHz).

1) Un mur renvoie l'écho du capteur de recul $12$ ms après le début de l'émission. À quelle distance est-il ?

2) Montrer qu'il existe une distance minimale en dessous de laquelle l'obstacle n'est pas détecté (zone aveugle). La calculer pour les deux appareils.

3) Deux obstacles sont alignés dans la même direction, aux distances $d$ et $d + Δ d$ . À quelle condition leurs deux échos sont-ils séparés ? En déduire la résolution en distance des deux appareils.

4) Montrer qu'au-delà d'une certaine distance, l'appareil ne peut plus savoir à quelle impulsion appartient un écho. Calculer cette portée non ambiguë pour les deux appareils. Le capteur de recul doit détecter des obstacles jusqu'à 3 m : est-ce compatible ? Un avion se trouve à 200 km du radar : à quelle distance l'écran l'affiche-t-il ? Montrer qu'en passant à une cadence de 800 Hz on démasque ce « fantôme ».

5) Résumer en une phrase ce que fixent la durée et la cadence des impulsions. Pourquoi le capteur de recul travaille-t-il à 40 kHz ?

Corrigé

La stratégie. Un écho est un aller-retour, $d = c Δ t /2$ ; on l'applique à des impulsions de durée finie, répétées périodiquement. Chacune des deux durées, $τ$ et $T_{r}$ , fixe une limite de l'appareil.

1) L'écho. L'onde parcourt l'aller et le retour, $2 d$ , pendant $Δ t$ : $d = \frac{c Δ t}{2} = \frac{340 \times 12 \times 1 0 ^{- 3}}{2} \approx 2, 0 m .$ Oublier le facteur $2$ est l'erreur classique : on annoncerait 4 m.

2) La zone aveugle. Tant que l'impulsion n'est pas terminée, le transducteur émet et n'écoute pas ; un écho qui revient avant la fin de l'émission, c'est-à-dire avec $Δ t < τ$ , est perdu. Donc $d_{m i n} = \frac{c τ}{2},$ soit $340 \times 0, 5 \times 1 0^{- 3} = 17$ cm pour le capteur de recul et $3, 0 \times 1 0^{8} \times 0, 5 \times 1 0^{- 6} = 150$ m pour le radar. Un obstacle collé au pare-chocs n'est pas vu ; un radar ne voit pas un avion à moins de 150 m.

3) La résolution. Les deux échos reviennent aux instants $2 d / c$ et $2 (d + Δ d) / c$ , séparés de $2Δ d / c$ . Chacun dure $τ$ ; ils se chevauchent, et l'appareil n'en voit qu'un, si $2Δ d / c < τ$ . Ils sont donc séparés si $Δ d > \frac{c τ}{2},$ soit $17$ cm pour le capteur de recul et $150$ m pour le radar : la même longueur que la zone aveugle, et pour la même raison. Une impulsion courte donne une bonne résolution.

4) La portée non ambiguë. Les impulsions partent toutes les $T_{r}$ . Si un écho revient après le départ de l'impulsion suivante, l'appareil l'attribue à cette dernière et affiche une distance fausse. La mesure est sans ambiguïté tant que $2 d / c < T_{r}$ , soit $d_{m a x} = \frac{c T _{r}}{2},$ soit $340 \times 0, 050/2 = 8, 5$ m pour le capteur de recul et $3, 0 \times 1 0^{8} \times 1, 0 \times 1 0^{- 3} /2 = 150$ km pour le radar. Pour le capteur de recul, l'écho d'un obstacle à 3 m revient en $6/340 \approx 18$ ms, bien avant la mesure suivante (50 ms plus tard) : compatible. Pour le radar, l'avion à 200 km renvoie son écho au bout de $2 \times 2, 0 \times 1 0^{5} /3, 0 \times 1 0^{8} = 1, 33$ ms, soit $0, 33$ ms après le départ de l'impulsion suivante. L'écran affiche $c \times 0, 33 ms /2 = 50$ km : un fantôme. À 800 Hz, $T_{r} = 1, 25$ ms : l'écho arrive $1, 33 - 1, 25 = 0, 083$ ms après une impulsion, et l'écran affiche $12, 5$ km. Une vraie cible à moins de 150 km garde la même distance affichée quelle que soit la cadence ; le fantôme saute de 50 à 12,5 km : il est démasqué.

5) Le bilan. La durée des impulsions fixe la zone aveugle et la résolution ( $c τ /2$ ) ; leur cadence fixe la portée non ambiguë ( $c T_{r} /2$ ). Compromis : des impulsions courtes portent peu d'énergie ; une cadence élevée réduit la portée. Le capteur de recul travaille à 40 kHz parce que cette fréquence est inaudible (au-delà de 20 kHz, ce sont des ultrasons) et qu'une salve de 1 ms y contient encore une quarantaine d'oscillations, assez pour être reconnue.

Ce que l'exercice installe. Derrière $d = c Δ t /2$ , un appareil réel a deux limites qui s'expriment par la même formule : la résolution $c τ /2$ et la portée $c T_{r} /2$ . Ce raisonnement — une durée de signal convertie en longueur par la célérité — vaut pour le sonar, le radar, l'échographie et le lidar ; on le retrouvera sous la forme « une impulsion de durée $τ$ occupe une longueur $c τ$ ».

100 % gratuit

La suite du chapitre est sur Adloun

18 autres exercices corrigés dans ce chapitre, et 8 à chercher avec le tuteur
Les 2 QCM du chapitre, le premier sans compte
Le podcast et la vidéo du chapitre et la correction filmée du TD : 2 minutes sans compte
Le tuteur, qui guide pas à pas sans donner la réponse

Exercice suivant et tuteur

Sans compte : le cours, le premier QCM et 2 minutes de podcast et de vidéo. Exercices et tuteur : inscription gratuite en 30 secondes, sans carte bancaire.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Exercice suivant et tuteur →