Cuve à ondes et stroboscope

La stratégie. Le stroboscope ne montre pas l'onde : il en montre une suite de photographies, prises toutes les $1/f_e$. L'œil relie chaque crête à la crête la plus proche sur la photographie suivante. Tout l'exercice consiste à calculer de combien l'onde avance entre deux éclairs, puis à ramener cette avance modulo $\lambda$.

1) L'immobilité apparente. Entre deux éclairs, l'onde avance de $v_{\phi }/f_e=\lambda f/f_e$. Si cette avance est un nombre entier de longueurs d'onde, la photographie suivante est identique à la précédente : les crêtes semblent immobiles. C'est le cas pour $f/f_e=n$ entier, soit $f_e=20$ Hz ($n=1$), $10$ Hz ($n=2$), $6,67$ Hz, $5$ Hz ($n=4$)… Pour trouver $f$ inconnue, on cherche la plus grande fréquence d'éclairs donnant une image immobile avec l'espacement normal des crêtes (on verra à la question 3 pourquoi cette précision compte) : c'est $f$. Ensuite $$\lambda =\frac{6,0}{5}=1,20\mathrm{cm},v_{\phi }=\lambda f=1,20\times 20,0=24\mathrm{cm}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Mesurer cinq longueurs d'onde plutôt qu'une divise par cinq l'incertitude de lecture.

2) Le mouvement apparent. Pour $f_e$ voisine de $f$, l'avance entre deux éclairs vaut $\lambda f/f_e=\lambda +\lambda \frac{f-f_e}{f_e}$. L'œil, qui associe chaque crête à la plus proche, ne voit que l'excès sur une longueur d'onde : $\lambda (f-f_e)/f_e$, parcouru en $1/f_e$. La vitesse apparente est donc $$v_{\text{app}}=\lambda \frac{f-f_e}{f_e}\times f_e=\lambda (f-f_e).$$ Pour $f_e=19,5$ Hz : $v_{\text{app}}=1,20\times 0,5=+0,60\mathrm{cm}{\mathrm{s}}^{-1}$, les crêtes avancent lentement, dans le vrai sens. Pour $f_e=20,5$ Hz : $v_{\text{app}}=-0,60\mathrm{cm}{\mathrm{s}}^{-1}$ : les crêtes semblent reculer vers le vibreur, alors que l'onde avance. Entre deux éclairs, chaque crête a parcouru un peu moins d'une longueur d'onde, et l'œil l'attribue à la crête qui la suivait.

3) À 40 Hz. Entre deux éclairs, l'onde avance de $\lambda /2$ : un éclair sur deux montre les crêtes à mi-chemin des précédentes. L'œil superpose les deux images : on voit des crêtes deux fois plus serrées, espacées de $0,60$ cm, et immobiles. Le piège : sans connaître $f$, on mesurerait $\lambda =0,60$ cm, deux fois trop petit. D'où la précaution de la question 1 : la bonne fréquence d'éclairs est la plus grande qui donne une image immobile et nette sans dédoublement.

4) Les roues de diligence. Une roue à rayons est un motif périodique (en angle) qui défile, comme les crêtes ; la caméra en prend 24 photographies par seconde. Si, entre deux images, chaque rayon tourne d'un peu moins que l'écart entre deux rayons, l'œil l'associe au rayon qui le précédait : la roue semble tourner lentement à l'envers, exactement comme les crêtes à $f_e=20,5$ Hz. C'est le même effet que la question 2, avec la fréquence de passage des rayons à la place de $f$ et 24 Hz à la place de $f_e$.

5) Ce que mesure le stroboscope. Un point de la surface ne fait qu'osciller verticalement (et un peu horizontalement) autour de sa position : il n'avance pas à $24\mathrm{cm}{\mathrm{s}}^{-1}$. Le stroboscope mesure la vitesse d'un motif — l'endroit où se trouve une crête — et non celle d'un objet. La vitesse apparente $v_{\text{app}}$, qui peut être négative ou nulle, est elle aussi celle d'un motif, reconstruit par l'œil : c'est pourquoi elle peut prendre n'importe quelle valeur.

Ce que l'exercice installe. La vitesse de phase est celle d'un motif, pas d'une matière ; un échantillonnage périodique (stroboscope, caméra, écran) ne voit une onde que modulo une période, d'où des mouvements apparents lents, nuls ou inversés. On retrouvera cette ambiguïté pour le déphasage (exercice 3) et, en informatique, sous le nom de repliement de spectre.