Eau profonde, eau peu profonde

La stratégie. Un milieu est dispersif si la vitesse de phase dépend de la fréquence. Les conséquences se voient dès qu'un signal contient deux fréquences : chacune se propage sans déformation à sa propre vitesse, et c'est leur décalage mutuel qui déforme la somme.

1) Le régime dispersif. En eau profonde, $v_{\phi }=g/\omega$ dépend de $\omega$ : le milieu est dispersif. En eau peu profonde, $v_{\phi }=\sqrt{gh}$ ne dépend que de la profondeur : non dispersif. En eau profonde, avec $\omega =2\pi /T$ : $$v_{\phi }=\frac{gT}{2\pi },\lambda =v_{\phi }T=\frac{g{T}^2}{2\pi }.$$ Pour $T=10$ s : $v_{\phi }=15,6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $\lambda =156$ m ; pour $T=15$ s : $v_{\phi }=23,4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $\lambda =351$ m. Les houles longues vont plus vite que les courtes. Homogénéité : $g/\omega$ est en $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}\times \mathrm{s}=\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.

2) Le signal à deux composantes en eau profonde. Chaque composante se propage à sa propre vitesse de phase : $v_1=g/\omega$ pour la pulsation $\omega$, $v_2=g/(2\omega )=v_1/2$ pour la pulsation $2\omega$. Les nombres d'onde valent $k_1=\omega /v_1={\omega }^2/g$ et $k_2=2\omega /v_2=4{\omega }^2/g=4k_1$. Donc $$s(x,t)=A\cos (\omega t-k_{1}x)+B\cos (2\omega t-4k_{1}x).$$ Écrivons le second terme en faisant apparaître le retard de la première composante : $2\omega t-4k_{1}x=2(\omega t-k_{1}x)-2k_{1}x$. Ainsi $$s(x,t)=A\cos (\omega (t-{\tau }_1))+B\cos (2\omega (t-{\tau }_1)-2k_{1}x),{\tau }_1=\frac{x}{v_1}.$$ Le signal en $x$ est le signal de départ retardé de ${\tau }_1$, à ceci près que la seconde composante a pris un déphasage supplémentaire $-2k_{1}x$ par rapport à la première. La forme est identique si et seulement si ce déphasage est un multiple de $2\pi$ : $2k_{1}x=2\pi n$, soit $x=n\pi /k_1=n{\lambda }_1/2$. Pour $x={\lambda }_1/4$, le déphasage supplémentaire vaut $\pi$ : la composante $2\omega$ a changé de signe, et le signal devient $A\cos \theta -B\cos 2\theta$ (avec $\theta =\omega (t-{\tau }_1)$) : là où il y avait des crêtes pointues et des creux aplatis, on trouve des crêtes aplaties et des creux pointus. La vague s'est retournée.

3) En eau peu profonde. Les deux composantes vont à la même vitesse $\sqrt{gh}$, ont le même retard $x/\sqrt{gh}$, et leur somme est le signal de départ retardé : $s(x,t)=s(0,t-x/\sqrt{gh})$. Le signal se propage sans déformation, quelle que soit la distance.

4) Le calcul numérique.

import numpy as np

g, T, h = 9.81, 10.0, 2.0                 # m/s^2, s, m
w = 2 * np.pi / T
t = np.linspace(0.0, T, 2001)             # une periode

def signal(x, v1, v2):                    # composantes w et 2w
    return np.cos(w * (t - x / v1)) + 0.5 * np.cos(2 * w * (t - x / v2))

lam1 = 2 * np.pi * g / w**2               # lambda_1 en eau profonde
for nom, v1, v2 in (("profonde", g / w, g / (2 * w)),
                    ("peu profonde", np.sqrt(g * h), np.sqrt(g * h))):
    for x in (0.0, lam1 / 8, lam1 / 4, lam1 / 2):
        s = signal(x, v1, v2)
        print(f"{nom:12s} x={x:5.1f} m  "
              f"max={s.max():5.2f}  min={s.min():5.2f}")

Résultat obtenu en l'exécutant :

profonde     x=  0.0 m  max= 1.50  min=-0.75
profonde     x= 19.5 m  max= 1.30  min=-1.30
profonde     x= 39.0 m  max= 0.75  min=-1.50
profonde     x= 78.1 m  max= 1.50  min=-0.75
peu profonde x=  0.0 m  max= 1.50  min=-0.75
peu profonde x= 19.5 m  max= 1.50  min=-0.75
peu profonde x= 39.0 m  max= 1.50  min=-0.75
peu profonde x= 78.1 m  max= 1.50  min=-0.75

Lecture. En eau profonde, ${\lambda }_1=156$ m. En $x=0$, le signal monte à $1,50$ et ne descend qu'à $-0,75$ : crêtes hautes et pointues, creux peu profonds. À ${\lambda }_1/8\approx 20$ m, il est devenu symétrique ($\pm 1,30$) ; à ${\lambda }_1/4=39$ m, il est retourné ($+0,75$, $-1,50$) ; à ${\lambda }_1/2=78$ m, il a retrouvé sa forme initiale : c'est exactement la périodicité ${\lambda }_1/2$ démontrée. En eau peu profonde, les extrema sont les mêmes partout : le signal est seulement retardé.

5) Le tsunami. Supposons l'eau peu profonde : $v_{\phi }=\sqrt{9,81\times 4000}=198\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\approx 710\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$, la vitesse d'un avion de ligne. Avec $T=20$ min $=1200$ s : $\lambda =198\times 1200\approx 240$ km. La profondeur, 4 km, est soixante fois plus petite que $\lambda$ : bien en dessous de $\lambda /20=12$ km, l'hypothèse « eau peu profonde » est cohérente, même au milieu de l'océan le plus profond. La côte à 3600 km est atteinte en $3,6\times 10^6/198\approx 1,8\times 10^4$ s, environ cinq heures. Ce calcul est légitime parce que le milieu est non dispersif pour le tsunami : toutes les composantes de la vague vont à la même vitesse, et le signal entier se translate sans déformation à $\sqrt{gh}$. Pour une houle en eau profonde, au contraire, chaque composante a sa vitesse ; un train de vagues ne se déplace pas à la vitesse de phase de sa période (il va moins vite, à une vitesse dont l'étude dépasse le programme), et diviser une distance par $v_{\phi }$ donnerait un temps d'arrivée faux. Le point délicat : en milieu dispersif, « la » vitesse d'un signal n'est pas définie par la seule vitesse de phase.

Ce que l'exercice installe. Un milieu dispersif ne déforme pas une sinusoïde : il déforme une somme de sinusoïdes, parce qu'il décale leurs phases relatives d'une quantité qui croît avec la distance. Un milieu non dispersif translate tout signal sans le déformer, et c'est seulement là que « distance divisée par célérité » donne un temps d'arrivée. Les lois de dispersion se donnent et s'exploitent ; elles ne s'établissent pas ici.