Échographie : choisir sa fréquence

La stratégie. Deux exigences tirent la fréquence en sens contraires : voir fin exige une petite longueur d'onde, donc une grande fréquence ; voir loin exige une faible atténuation, donc une petite fréquence. On chiffre chacune, puis on choisit.

1) Pourquoi des ultrasons. À 1 kHz, $\lambda =1540/1000=1,54$ m : un son audible ne distinguerait rien de plus petit qu'un mètre et demi, plus grand que le patient. Pour voir des détails de l'ordre du demi-millimètre, il faut $f\approx c/\lambda =1540/(0,5\times 10^{-3})\approx 3$ MHz. Ces fréquences sont des ultrasons : l'audible va de 20 Hz à 20 kHz, les infrasons sont en dessous, les ultrasons au-dessus ; l'échographie travaille cent fois au-delà de la limite de l'audible.

2) Les longueurs d'onde. $\lambda =c/f$ : $1540/3,5\times 10^6=0,44$ mm à 3,5 MHz ; $1540/10\times 10^6=0,154$ mm à 10 MHz.

3) La profondeur maximale. Pour un organe à la profondeur $d$, l'onde parcourt $2d$ (aller et retour) et perd $\alpha f\times 2d$ décibels. La condition $2\alpha fd\le 60$ dB donne $$d_{\max }=\frac{60}{2\alpha f},$$ soit $60/(2\times 0,5\times 3,5)=17$ cm à 3,5 MHz et $60/(2\times 0,5\times 10)=6,0$ cm à 10 MHz. Homogénéité : des décibels divisés par des $\mathrm{dB}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}\mathrm{MH}{\mathrm{z}}^{-1}\times \mathrm{MHz}$ donnent des centimètres. Soixante décibels, c'est un facteur un million sur l'intensité.

4) Le choix. Pour le fœtus à 12 cm : 10 MHz ne porte qu'à 6 cm (il faudrait compenser $2\times 0,5\times 10\times 12=120$ dB) ; on prend 3,5 MHz, qui porte à 17 cm (42 dB à 12 cm) avec une résolution de 0,44 mm. Pour la thyroïde à 2 cm : 10 MHz porte à 6 cm, largement assez, et donne des détails trois fois plus fins ; on prend 10 MHz. Le compromis : plus la fréquence est élevée, plus l'image est fine et moins elle est profonde. Ces couples fréquence–profondeur sont ceux des sondes abdominales et des sondes « superficielles » réelles.

5) La non-dispersion et la conversion temps–profondeur. Une impulsion échographique n'est pas une sinusoïde infinie : elle contient une bande de fréquences. Si toutes avancent à la même vitesse, l'écho revient avec la forme de l'impulsion émise, et son instant d'arrivée est bien défini ; dans un milieu dispersif, il s'étalerait et sa date deviendrait floue. L'appareil suppose $c=1540\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ et calcule $d=c\Delta t/2$ ; à 12 cm, l'écho revient au bout de $2\times 0,12/1540=156\mu$s. Les tissus réels ont des célérités comprises entre environ 1450 (graisse) et 1600 $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : quelques pour cent d'erreur sur les profondeurs, acceptables pour une image.

Ce que l'exercice installe. Un choix de fréquence est un compromis chiffré entre résolution ($\lambda =c/f$) et portée (atténuation croissante avec $f$) ; on le retrouve pour les radars, les sonars et les télécommunications. Les ordres de grandeur acoustiques (audible, ultrasons) et la non-dispersion des tissus sont ce qui rend l'échographie possible.