Problème : mesurer la célérité du son par la méthode de Lissajous

1) Les deux tensions. Les microphones convertissent la surpression en tension, sans déphasage propre si l'on suppose les deux micros identiques. En $M_1$, on choisit l'origine des temps pour que $u_1=U_1\cos \omega t$. L'onde arrive en $M_2$ avec le retard $d/c$ : par l'exercice 3, $u_2=U_2\cos (\omega t-\phi )$ avec $$\phi =\omega \frac{d}{c}=\frac{2\pi d}{\lambda }.$$ Les amplitudes diffèrent ($M_2$, plus loin, reçoit moins) mais cela n'affecte pas la phase.

2) L'ellipse. Posons $X=x/U_1=\cos \omega t$ et $Y=y/U_2=\cos (\omega t-\phi )=\cos \omega t\cos \phi +\sin \omega t\sin \phi$. Alors $Y-X\cos \phi =\sin \omega t\sin \phi$. Élevons au carré et utilisons ${\sin }^2\omega t=1-X^2$ : $$Y^2-2XY\cos \phi +X^2{\cos }^2\phi =(1-X^2){\sin }^2\phi ,\text{d’ouˋ}{X}^2+Y^2-2XY\cos \phi ={\sin }^2\phi ,$$ puisque ${\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi =1$. C'est une courbe fermée, bornée ($|X|\le 1$, $|Y|\le 1$), d'équation du second degré : une ellipse inscrite dans le rectangle $[-U_1,U_1]\times [-U_2,U_2]$. Pour $\phi =0$ : $(X-Y{)}^2=0$, le segment $Y=X$, une droite de pente positive $U_2/U_1$ ; pour $\phi =\pi$ : $(X+Y{)}^2=0$, une droite de pente négative ; pour $\phi =\pi /2$ : $X^2+Y^2=1$, une ellipse d'axes portés par les axes de l'écran (un cercle si $U_1$ et $U_2$ occupent le même nombre de divisions). Ce n'est pas une superposition d'ondes : les deux signaux sont envoyés sur deux voies perpendiculaires, et l'ellipse est une construction géométrique.

3) Lecture d'un déphasage. Sur l'axe vertical, $x=0$, donc $X=0$ et l'équation donne $Y^2={\sin }^2\phi$ : $y_0=U_2|\sin \phi |$. Ici $|\sin \phi |=1,2/2,0=0,60$, donc $\phi =36,9^{\circ }$ ou $\phi =143,1^{\circ }$. Le grand axe dans le premier quadrant signifie que $x$ et $y$ sont le plus souvent de même signe, c'est-à-dire $\cos \phi >0$ (le terme $-2XY\cos \phi$ favorise alors $XY>0$) : $\phi =36,9^{\circ }$. L'équation ne dépend que de $\cos \phi$ et de ${\sin }^2\phi$ : elle est la même pour $\phi$ et $-\phi$. Le retard et l'avance ne se distinguent que par le sens de parcours du spot, invisible sur une trace persistante ; c'est la géométrie ($M_2$ plus loin) qui dit que $u_2$ est en retard.

4) La mesure de $\lambda$ et de $c$. Une droite de pente positive signifie $\phi \equiv 0$ modulo $2\pi$ : entre deux positions successives, $d$ a augmenté de $\lambda$. Les positions $x_n$ ($n=0,\dots ,4$) doivent vérifier $x_n=x_0+n\lambda$. La régression linéaire de $x_n$ en fonction de $n$ (par exemple avec numpy.polyfit) donne une pente $$\lambda =34,27\mathrm{cm},u(\lambda )\approx 0,06\mathrm{cm},$$ l'incertitude étant estimée à partir de la dispersion des points autour de la droite (écarts de $-0,06$ ; $+0,17$ ; $-0,20$ ; $+0,13$ ; $-0,04$ cm, compatibles avec les $\pm 0,2$ cm de lecture). Donc $$c=\lambda f=342,7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},u(c)\approx 0,6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Un seul intervalle aurait donné $\lambda =46,5-12,0=34,5$ cm à environ $0,3$ cm près (deux lectures), soit $c=345\pm 3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : cinq fois moins précis. Mesurer sur quatre longueurs d'onde divise l'effet de l'erreur de lecture par quatre, et la régression vérifie de plus que les points sont bien alignés — ce qui contrôle le protocole.

5) L'air est-il dispersif ? Les produits $\lambda f$ valent $68,7\times 5=343,5$ ; $342,7$ ; $17,1\times 20=342,0$ ; $8,6\times 40=344,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, avec des incertitudes d'environ $0,5$, $0,6$, $2$ et $4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ (une erreur de $0,1$ cm pèse d'autant plus que $\lambda$ est petite). Toutes ces valeurs sont compatibles avec une même célérité, autour de $343\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : sur un facteur 8 en fréquence, la vitesse de phase ne varie pas de façon mesurable. L'air est non dispersif dans le domaine audible. C'est ce que dit l'expérience : un orchestre entendu de loin reste juste et en mesure, les notes graves et aiguës d'un même accord arrivent ensemble ; si l'air était dispersif, un accord lointain se décomposerait en arpège. (Le tonnerre lointain gronde grave pour une autre raison : l'air absorbe davantage les aigus sur de longues distances. L'absorption n'est pas la dispersion.)

6) La température. À 20 °C, $T=293,15$ K et $c=331\sqrt{293,15/273,15}=342,9\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, en accord avec la mesure ($342,7\pm 0,6$). En différentiant la loi, $\frac{\Delta c}{c}=\frac{\Delta T}{2T}$ : une erreur de 1 K donne $\Delta c/c=1/586\approx 0,17$ %, soit $0,6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ — exactement l'incertitude de la mesure. Il faut donc connaître la température au kelvin près ; un thermomètre ordinaire suffit, mais une erreur de quelques degrés (une salle mal chauffée, un appareil près d'une fenêtre) dominerait l'incertitude.

Le résultat obtenu : la méthode des figures de Lissajous. Deux signaux sinusoïdaux de même fréquence, envoyés sur les deux voies d'un oscilloscope en mode XY, tracent une ellipse qui dégénère en droite lorsqu'ils sont en phase ou en opposition ; le déphasage se lit par $|\sin \phi |=y_0/U_2$. En repérant les positions successives d'un microphone où la droite réapparaît, on mesure la longueur d'onde, puis la célérité $c=\lambda f$ — ici $342,7\pm 0,6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ à 20 °C — et l'on vérifie, en changeant de fréquence, que l'air est un milieu non dispersif.

Ce que l'exercice installe. Le déphasage dû à la propagation devient une mesure : on repère des coïncidences de phase plutôt que des retards, parce qu'une coïncidence se voit mieux qu'une durée se lit. La régression sur plusieurs intervalles, l'estimation de l'incertitude, la comparaison à une valeur attendue et la recherche du facteur limitant (ici la température) sont la démarche de tout travail expérimental. Et la non-dispersion de l'air, posée au chapitre 1 comme une hypothèse, est ici vérifiée.