Qui est en avance ? Lire un déphasage signé

La stratégie. Le retard de propagation est une donnée physique sans ambiguïté ; le déphasage lu sur un écran ne l'est pas, parce qu'une sinusoïde est identique à elle-même décalée d'une période. On établit d'abord le lien exact, puis on le lit modulo $2\pi$, et l'on cherche une information extérieure pour lever l'ambiguïté.

1) Le retard et le déphasage. L'onde s'écrit $s(x,t)=A\cos (\omega t-kx)$ (on néglige l'affaiblissement avec la distance, qui ne change pas les phases). En $M_1$ et en $M_2=M_1+\Delta x$ : $$s_2(t)=A\cos (\omega t-k{x}_1-k\Delta x)=A\cos (\omega (t-\tau )-k{x}_1)=s_1(t-\tau ),\tau =\frac{k\Delta x}{\omega }=\frac{\Delta x}{c}.$$ Le signal de $M_2$ est celui de $M_1$ retardé de $\tau$ : l'onde arrive plus tard au micro le plus éloigné. La phase de $M_1$ dépasse celle de $M_2$ de $\Delta \Phi =k\Delta x=\omega \tau =2\pi \Delta x/\lambda$. Un retard d'une période correspond à un tour, $2\pi$.

2) La lecture modulo $T$. $T=1/f=0,50$ ms et $\lambda =c/f=17$ cm. Sur l'écran, toutes les crêtes de la voie 2 se ressemblent : un décalage de $0,15$ ms est indiscernable d'un décalage de $0,65$ ms, $1,15$ ms… Le retard réel est $\tau =0,15+0,50n$ ms, et les distances compatibles sont $\Delta x=c\tau$ : $$5,1\mathrm{cm},22,1\mathrm{cm},39,1\mathrm{cm},\dots$$ Seule la deuxième est « une vingtaine de centimètres » : $\Delta x=22,1$ cm, $\tau =0,65$ ms $=1,3T$, et $$\Delta \Phi =2\pi \times 1,3=2,6\pi ,$$ dont l'écran ne montre que la partie $0,6\pi$ (soit $108^{\circ }$). Le point délicat : la mesure grossière à la règle n'est pas inutile, elle choisit le bon tour ; la mesure fine à l'oscilloscope donne ensuite la précision.

3) Retard ou avance ? Le camarade n'a pas tort : la crête de la voie 2 qui suit de $0,15$ ms une crête de la voie 1 précède aussi de $0,50-0,15=0,35$ ms la crête suivante de la voie 1. « En retard de $0,6\pi$ » et « en avance de $1,4\pi$ » décrivent le même écran, puisque $0,6\pi +1,4\pi =2\pi$. L'écran ne contient que le déphasage modulo $2\pi$ ; le signe physique (qui est réellement en retard) vient de la géométrie : $M_2$ est plus loin, donc en retard. Une distance de $0,35\times 340\times 10^{-3}=11,9$ cm avec $M_2$ plus proche que $M_1$ donnerait le même écran.

4) Un protocole sans ambiguïté. On part des deux micros côte à côte : signaux en phase, $\Delta x=0$. On éloigne lentement $M_2$ en surveillant l'écran : le décalage croît continûment ; chaque fois qu'il atteint une période, les signaux redeviennent en phase, et l'on compte ces coïncidences. Après $N$ coïncidences et un décalage résiduel ${\tau }_r$, $\Delta x=N\lambda +c{\tau }_r$. On ne perd jamais le compte des tours parce qu'on a suivi la phase de façon continue — c'est le principe du problème de fin de séance.

5) Phase, opposition, quadrature. En phase : $\Delta \Phi =2\pi n$, soit $\Delta x=n\lambda$ ($0$, $17$, $34$ cm…). En opposition : $\Delta \Phi =(2n+1)\pi$, soit $\Delta x=(n+\frac{1}{2})\lambda$ ($8,5$ cm, $25,5$ cm…). En quadrature retard ($M_2$ en retard d'un quart de période) : $\Delta x=(n+\frac{1}{4})\lambda$ ($4,25$ cm, $21,25$ cm…) ; en quadrature avance : $\Delta x=(n+\frac{3}{4})\lambda$ ($12,75$ cm…), car un retard de trois quarts de période est une avance d'un quart. Pour $\Delta x=1,2$ m et $\lambda =0,80$ m : $\Delta x/\lambda =1,5$, les deux points sont en opposition de phase.

Ce que l'exercice installe. Déphasage et retard sont une seule grandeur lue en deux langages, $\Delta \Phi =\omega \tau =2\pi \Delta x/\lambda$ ; le capteur aval est en retard. Mais un écran ne livre le déphasage que modulo $2\pi$ : il faut une information grossière (une estimation, ou un suivi continu) pour compter les tours. Ce couple « mesure fine modulo une période, mesure grossière qui compte les tours » est exactement le principe du télémètre de l'exercice suivant.