Déplacer la source

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le calcul de l'exercice 6, appliqué deux fois : une fois entre la source et les trous, une fois entre les trous et l'écran. La formule de Fresnel fournie.

1) Deux différences de marche qui s'ajoutent. Le chemin de la lumière qui passe par $S_2$ est $S{S}_2+S_{2}M$, celui qui passe par $S_1$ est $S{S}_1+S_{1}M$ ; dans l'air, chemin optique et distance se confondent. Donc $$\delta =(S{S}_2-S{S}_1)+(S_{2}M-S_{1}M).$$ Le second terme est celui du cours (et de l'exercice 6) : $S_{2}M-S_{1}M\approx ax/D$. Le premier se calcule de la même façon, la source étant à la cote $y_S$ et à la distance $d$ du plan des trous : $S{S}_2^2-S{S}_1^2=(y_S+a/2{)}^2-(y_S-a/2{)}^2=2a{y}_S$ et $S{S}_1+S{S}_2\approx 2d$, d'où $S{S}_2-S{S}_1\approx a{y}_S/d$. Au total $$\delta =\frac{a{y}_S}{d}+\frac{ax}{D}.$$ Lecture. Si la source monte ($y_S>0$), la lumière arrive en $S_1$ avant $S_2$ : les trous ne vibrent plus en phase, et le premier terme est ce déphasage « à l'émission », comme le retard électronique de l'exercice 5.

2) La figure translate. L'ordre zéro est en $\delta =0$ : $$x_0=-\frac{D}{d}{y}_S.$$ L'intensité s'écrit $I(x)=2I_0(1+\cos \frac{2\pi a(x-x_0)}{\lambda D})$ : c'est la figure centrée de la source sur l'axe, décalée de $x_0$. L'interfrange reste $i=\lambda D/a$. La figure se déplace en sens opposé à la source, avec le facteur d'amplification $D/d$ — comme l'image d'un sténopé : la frange centrale est sur la droite qui joint la source au milieu des trous. AN : $i=600\times 10^{-9}\times 1,0/(0,50\times 10^{-3})=1,2\mathrm{mm}$ ; pour $y_S=1,0\mathrm{mm}$, $x_0=-2,0\mathrm{mm}$, soit un décalage de $1,7$ interfrange.

3) La tolérance. Il faut $|x_0|\le i/10$, soit $$|y_S|\le \frac{d}{D}\cdot \frac{i}{10}=\frac{\lambda d}{10a}=0,06\mathrm{mm}.$$ Soixante micromètres : une vibration de la lampe suffit à faire danser les franges, d'où les bancs rigides des montages d'interférences.

4) Deux sources incohérentes : le brouillage. $S$ donne la figure centrée en $0$, $S^{\prime }$ la même figure décalée de $-Db/d$. Les intensités s'ajoutent : $$I_{\text{tot}}=2I_0(1+\cos \frac{2\pi ax}{\lambda D})+2I_0(1+\cos (\frac{2\pi ax}{\lambda D}+\frac{2\pi ab}{\lambda d}\left)\right).$$ Elle est uniforme quand les deux cosinus sont en opposition, $\frac{2\pi ab}{\lambda d}=\pi$ : les franges brillantes de l'une tombent sur les franges sombres de l'autre, et $I_{\text{tot}}=4I_0$ partout. La plus petite valeur est $$b=\frac{\lambda d}{2a}=\frac{600\times 10^{-9}\times 0,50}{2\times 0,50\times 10^{-3}}=0,30\mathrm{mm}.$$ La source étendue. Une source large est une infinité de points incohérents, chacun avec sa figure décalée ; dès que sa largeur atteint l'ordre de $\lambda d/a$ (quelques dixièmes de millimètre), ces figures couvrent tout un interfrange : brouillage. D'où la fente source très fine des montages classiques, ou le laser.

Homogénéité. $a{y}_S/d$ et $ax/D$ sont des longueurs ; $\lambda d/a$ aussi. Cas limite : $y_S=0$ redonne la figure du cours.

Ce que l'exercice installe. La différence de marche se calcule tout le long du trajet, de la source à l'écran, et les contributions s'additionnent : une dissymétrie avant les trous translate la figure sans changer l'interfrange. Et l'idée du brouillage : deux figures incohérentes ajoutent leurs intensités, et s'effacent quand elles sont décalées d'un demi-interfrange.