Le casque antibruit : la tolérance sur le retard

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le résultat du cours : deux signaux de même amplitude $A$ déphasés de $\Delta \phi$ ont pour somme une sinusoïde d'amplitude $2A|\cos (\Delta \phi /2)|$. Et, pour l'amplitude inégale de la question 1, l'exercice 1. La stratégie est de tout ramener à un déphasage.

1) L'anti-bruit idéal, puis l'erreur d'amplitude. Il faut émettre $s^{\prime }(t)=-A\cos (\omega t)=A\cos (\omega t-\pi )$ : un signal de même amplitude en opposition de phase, $\Delta \phi =\pi$. Alors $s+s^{\prime }=0$ à chaque instant. Si l'amplitude n'est que $0,9A$ avec la bonne opposition de phase, l'exercice 1 (borne inférieure $A_1-A_2$) donne $$A_{\text{reˊs}}=A-0,9A=0,1A,G=20{\log }_{10}0,1=-20\mathrm{dB}.$$ L'intensité, proportionnelle au carré de l'amplitude, est divisée par $100$.

2) Le retard devient un déphasage. Comme $-\cos u=\cos (u-\pi )$, $$s^{\prime }(t)=A\cos (\omega t-\omega \tau -\pi ),\text{donc}\Delta \phi =\pi +\omega \tau .$$ Le résultat du cours donne $$A_{\text{reˊs}}=2A\left|\cos \frac{\pi +\omega \tau }{2}\right|=2A\left|\sin \frac{\omega \tau }{2}\right|=2A|\sin (\pi f\tau )|,$$ en utilisant $\cos (\pi /2+u)=-\sin u$ et $\omega =2\pi f$. Le point important : le même retard $\tau$ correspond à un déphasage parasite $\omega \tau =2\pi f\tau$ proportionnel à la fréquence.

3) Applications numériques. Avec $\tau =20\mu \mathrm{s}$ :

• à $100\mathrm{Hz}$, $\pi f\tau =6,3\times 10^{-3}$, $A_{\text{reˊs}}/A=0,0126$, soit $G\approx -38\mathrm{dB}$ ;
• à $1\mathrm{kHz}$, $A_{\text{reˊs}}/A=0,126$, soit $G\approx -18\mathrm{dB}$ ;
• à $3\mathrm{kHz}$, $A_{\text{reˊs}}/A=0,375$, soit $G\approx -8,5\mathrm{dB}$.

Le seuil de $-20\mathrm{dB}$. Il faut $2|\sin (\pi f\tau )|\le 0,1$, soit, pour les petites valeurs de l'argument, $$f\le \frac{\arcsin (0,05)}{\pi \tau }\approx 796\mathrm{Hz}.$$ L'amplification. Le casque aggrave le bruit dès que $A_{\text{reˊs}}>A$, c'est-à-dire $|\sin (\pi f\tau )|>1/2$ ; le premier seuil est $\pi f\tau =\pi /6$, soit $$f>\frac{1}{6\tau }\approx 8,3\mathrm{kHz}.$$ Le déphasage parasite y vaut $\pi /3$ : les deux signaux sont déphasés de $2\pi /3$, et leur somme a précisément l'amplitude $A$. Au-delà, l'anti-bruit renforce le bruit. D'où la coupure de la réduction active dans les aigus.

4) Interprétation spatiale. Un retard $\tau$ est celui que prendrait le son pour parcourir $c\tau =340\times 20\times 10^{-6}=6,8\mathrm{mm}$ : tout se passe comme si l'anti-bruit était émis $6,8\mathrm{mm}$ trop loin du tympan. Ce qui compte est le rapport de ce décalage à la longueur d'onde : à $100\mathrm{Hz}$, $\lambda =3,4\mathrm{m}$, et $6,8\mathrm{mm}$ n'en est que $0,2\%$ ; à $3\mathrm{kHz}$, $\lambda =11\mathrm{cm}$, et le décalage en est $6\%$, soit déjà $22^{\circ }$ de déphasage. Le grondement grave d'un réacteur se prête à l'annulation, une voix aiguë non.

5) La tolérance sur la phase. À amplitude exacte, un déphasage $\pi +\epsilon$ donne $A_{\text{reˊs}}=2A|\sin (\epsilon /2)|$ ; pour $-20\mathrm{dB}$, $2\sin (\epsilon /2)=0,1$, soit $\epsilon \approx 0,10\mathrm{rad}\approx 5,7^{\circ }$. Une erreur de $10\%$ sur l'amplitude et une erreur de $0,1$ radian sur la phase coûtent la même chose, comme à l'exercice 1. Mais la tolérance sur la phase est fixe, alors que le déphasage dû au retard croît avec $f$ : c'est le retard qui fixe la bande utile du casque.

Homogénéité. $f\tau$ est sans dimension, comme doit l'être l'argument d'un sinus. Cas limite : $\tau \to 0$ donne $A_{\text{reˊs}}\to 0$ à toute fréquence, l'annulation parfaite.

Ce que l'exercice installe. Un retard $\tau$ est un déphasage $\omega \tau$ : à retard fixé, le déphasage croît avec la fréquence. Une tolérance sur la phase se traduit donc en une tolérance sur le retard d'autant plus sévère que la fréquence est élevée — ou, de façon équivalente, en une tolérance sur une distance comparée à la longueur d'onde. C'est la relation « déphasage $=2\pi \times$ retard $/$ période » du programme, qui reviendra à chaque différence de marche.