Le micro au-dessus du sol : filtre en peigne

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La source image, admise : l'onde réfléchie arrive en $M$ comme si elle venait de $S^{\prime }$, en phase avec $S$ puisque la réflexion ne change pas le signe. La condition de destruction $\delta =(n+\frac{1}{2})\lambda$. L'exercice 1 pour deux amplitudes inégales.

1) La différence de marche. Plaçons le sol en $z=0$, $S=(0,h)$, $M=(\ell ,h)$, d'où $S^{\prime }=(0,-h)$. Le trajet direct vaut $SM=\ell$. Le trajet réfléchi, de $S$ au sol puis à $M$, a la même longueur que le segment $S^{\prime }M$ (c'est tout l'intérêt de la source image : le point de réflexion est l'intersection de $S^{\prime }M$ avec le sol, et la symétrie conserve les longueurs). Le triangle rectangle de côtés $\ell$ et $2h$ donne $$S^{\prime }M=\sqrt{{\ell }^2+4h^2},\delta =S^{\prime }M-SM=\sqrt{{\ell }^2+4h^2}-\ell =\sqrt{16+9}-4=1,00\mathrm{m}.$$

2) Le peigne de fréquences. Le point $M$ est fixé : $\delta$ aussi. L'inconnue est maintenant la fréquence. L'extinction exige $\delta =(n+\frac{1}{2})\lambda =(n+\frac{1}{2})c/f$, soit $$f_n=(n+\frac{1}{2})\frac{c}{\delta }=170,510,850,1190\mathrm{Hz}\dots$$ Ces fréquences sont régulièrement espacées de $c/\delta =340\mathrm{Hz}$ ; entre elles, les fréquences $nc/\delta$ ($340$, $680\mathrm{Hz}$…) sont renforcées. La réponse du micro, tracée en fonction de la fréquence, présente des dents régulières : c'est un filtre en peigne. Le piège : la première extinction n'est pas à $c/\delta =340\mathrm{Hz}$, mais à la moitié, $170\mathrm{Hz}$, là où $\delta =\lambda /2$.

3) La profondeur des creux. Les amplitudes sont inversement proportionnelles aux distances parcourues : $$r=\frac{A_{\text{reˊfl}}}{A_{\text{dir}}}=\frac{\ell }{\sqrt{{\ell }^2+4h^2}}=\frac{4}{5}=0,80.$$ D'après l'exercice 1, l'amplitude résultante varie entre $A_{\text{dir}}(1-r)$ (aux fréquences $f_n$) et $A_{\text{dir}}(1+r)$ (aux fréquences intermédiaires) : $$\frac{A_{\min }}{A_{\max }}=\frac{1-r}{1+r}=\frac{0,2}{1,8}=\frac{1}{9},20{\log }_{10}\frac{1}{9}\approx -19\mathrm{dB}.$$ Les creux ne sont pas des extinctions totales (amplitudes inégales), mais $19\mathrm{dB}$ entre bosses et creux colorent nettement le son.

4) Le micro de surface. Pour $h\ll \ell$, on développe : $\sqrt{{\ell }^2+4h^2}=\ell \sqrt{1+4h^2/{\ell }^2}\approx \ell (1+\frac{2h^2}{{\ell }^2})$, d'où $$\delta \approx \frac{2h^2}{\ell }.$$ La différence de marche tend vers zéro comme le carré de la hauteur : abaisser source et micro écrase très vite $\delta$.

Le micro de surface. Avec la source en $S=(0,H)$, son image en $S^{\prime }=(0,-H)$ et le micro en $M=(\ell ,h)$ : $$S^{\prime }{M}^2-S{M}^2=(H+h{)}^2-(H-h{)}^2=4Hh,\delta =S^{\prime }M-SM=\frac{4Hh}{SM+S^{\prime }M},$$ exactement, par la même factorisation qu'à l'exercice 3. Pour $h\ll H$, $SM\approx S^{\prime }M\approx \sqrt{{\ell }^2+H^2}$, d'où $$\delta \approx \frac{2Hh}{\sqrt{{\ell }^2+H^2}}=\frac{2\times 1,5\times 0,010}{4,27}\approx 7,0\times 10^{-3}\mathrm{m},f_0=\frac{c}{2\delta }\approx 24\mathrm{kHz}.$$ La première extinction est rejetée au-delà de la limite de l'audible ($20\mathrm{kHz}$). Dans toute la bande audible, $\delta <\lambda /2$ : l'onde directe et l'onde réfléchie arrivent presque en phase, et leurs amplitudes, presque égales ($r\approx 0,998$), s'additionnent. Le micro posé ne colore pas le son, et gagne même un facteur $2$ en amplitude dans les graves (environ $+6\mathrm{dB}$). Homogénéité : $Hh/\sqrt{{\ell }^2+H^2}$ est bien une longueur ; cas limite $h\to 0$ : $\delta \to 0$, plus aucune extinction. C'est le principe des micros « de surface » posés sur une scène ou une table de conférence ; on comprend aussi pourquoi le micro doit être collé au sol, à quelques millimètres près : à $h=5\mathrm{cm}$, la première extinction redescendrait vers $5\mathrm{kHz}$, en plein dans l'aigu de la voix.

5) La chanteuse recule. La dérivée de $\ell \mapsto \sqrt{{\ell }^2+4h^2}-\ell$ vaut $\frac{\ell }{\sqrt{{\ell }^2+4h^2}}-1<0$ : $\delta$ diminue, tend vers zéro comme $2h^2/\ell$. Le peigne s'élargit : à $\ell =8\mathrm{m}$, $\delta =0,54\mathrm{m}$, première extinction à $312\mathrm{Hz}$, écart $625\mathrm{Hz}$. En même temps $r$ tend vers $1$ ($0,94$ à $8\mathrm{m}$) : les creux deviennent plus profonds. Une chanteuse qui se déplace fait « glisser » le peigne : l'oreille entend un effet de phasing.

Ce que l'exercice installe. La condition d'interférence $\delta =(n+\frac{1}{2})\lambda$ a deux lectures : à fréquence fixée, elle sélectionne des positions (les franges) ; à position fixée, elle sélectionne des fréquences (le peigne). La seconde lecture reviendra en lumière blanche (exercice 9) sous le nom de spectre cannelé. Et une méthode : la source image ramène une réflexion à une interférence entre deux sources.