Trous d'Young : établir la différence de marche, et les anneaux

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La distance entre deux points en coordonnées cartésiennes ; le développement $\sqrt{1+u}\approx 1+u/2$ pour $|u|\ll 1$ ; la condition $\delta =p\lambda$ ($p$ entier) des franges brillantes. C'est la capacité du programme « établir l'expression littérale de la différence de chemin optique » : on la fait ici sans aucun angle, ce qui permet de contrôler l'approximation.

1) Le calcul exact, puis l'approximation. Par le théorème de Pythagore dans l'espace, $$S_1{M}^2=(x-\frac{a}{2}{)}^2+y^2+D^2,S_2{M}^2=(x+\frac{a}{2}{)}^2+y^2+D^2,S_2{M}^2-S_1{M}^2=2ax.$$ En factorisant $S_2{M}^2-S_1{M}^2=(S_{2}M-S_{1}M)(S_{2}M+S_{1}M)$ : $$\delta =\frac{2ax}{S_{1}M+S_{2}M}\text{(exact).}$$ L'approximation ne porte plus que sur le dénominateur, et non sur une différence de deux grands nombres presque égaux. Pour $D\gg a,|x|,|y|$, chaque distance vaut $D$ au premier ordre, $S_{1}M+S_{2}M\approx 2D$, d'où $$\delta \approx \frac{ax}{D}.$$ La forme des franges. $\delta$ ne dépend que de $x$ : les franges ($\delta =$ constante) sont des droites $x=$ constante, perpendiculaires à $S_1{S}_2$. L'équidistance. Les franges brillantes sont en $\delta =p\lambda$, soit $x_p=p\lambda D/a$ : l'écart $x_{p+1}-x_p=\lambda D/a=i$ est indépendant de $p$.

2) Le domaine de validité. Développons le dénominateur : $S_{1}M\approx D(1+\frac{(x-a/2{)}^2+y^2}{2D^2})$, de même pour $S_{2}M$, d'où $$S_{1}M+S_{2}M\approx 2D(1+\frac{x^2+y^2+a^2/4}{2D^2}),\frac{{\delta }_{\text{approcheˊ}}-\delta }{\delta }\approx \frac{x^2+a^2/4}{2D^2}(y=0).$$

• En $x=5\mathrm{mm}$ : erreur relative $1,3\times 10^{-5}$ ;
• en $x=10\mathrm{cm}$ : erreur relative $5\times 10^{-3}$, encore très faible.

Le point délicat. Ce qui gouverne l'intensité n'est pas $\delta$ mais le déphasage $2\pi \delta /\lambda$ : une erreur sur $\delta$ compte par rapport à $\lambda$, pas par rapport à $\delta$. L'erreur absolue vaut, à $y=0$ et $x\gg a$, $\frac{ax}{D}\cdot \frac{x^2}{2D^2}=\frac{a{x}^3}{2D^3}$ :

• en $x=5\mathrm{mm}$, $3,1\times 10^{-11}\mathrm{m}$, soit $5\times 10^{-5}\lambda$ : négligeable ;
• en $x=10\mathrm{cm}$, $2,5\times 10^{-7}\mathrm{m}$, soit $0,42\lambda$ : l'approximation y confondrait presque une frange brillante et une frange sombre !

Le calcul exact confirme ces valeurs. La formule $\delta =ax/D$ vaut tant que $a{x}^3/(2D^3)\ll \lambda$ : ici sur quelques centimètres, ce qui couvre largement la zone utile ($i=1,2\mathrm{mm}$).

3) L'écran perpendiculaire. Les surfaces $\delta =$ constante sont de révolution autour de l'axe $S_1{S}_2$, et l'écran est perpendiculaire à cet axe : leurs traces sont des cercles centrés en $F$. Les franges sont des anneaux. Pour la différence de marche, on reprend la méthode de l'exercice 5 : vu de $M$ très lointain ($D\gg a$), $S_{1}M$ et $S_{2}M$ sont presque parallèles à $OM$, et $\delta$ est la projection de $\overrightarrow{S_2{S}_1}$, de longueur $a$, sur cette direction : $\delta \approx a\cos \alpha$, où $\alpha$ est l'angle entre l'axe et $OM$. Comme $\cos \alpha =D/\sqrt{D^2+{\rho }^2}$, $$\delta \approx \frac{aD}{\sqrt{D^2+{\rho }^2}}.$$ Elle est maximale au centre ($\delta =a$) et décroît quand on s'en éloigne.

4) Les anneaux. Au centre, $p_0=a/\lambda =10^{-3}/(5\times 10^{-7})=2000$, un entier : le centre est brillant. Comme $\delta$ décroît vers l'extérieur, le $k$-ième anneau brillant correspond à l'ordre $p_0-k$ : $$\frac{aD}{\sqrt{D^2+{\rho }_k^2}}=a-k\lambda ⟹{\rho }_k=D\sqrt{(\frac{a}{a-k\lambda }{)}^2-1}.$$ Pour $\rho \ll D$, $\frac{D}{\sqrt{D^2+{\rho }^2}}\approx 1-\frac{{\rho }^2}{2D^2}$, donc $\frac{a{\rho }_k^2}{2D^2}=k\lambda$ et ${\rho }_k\approx D\sqrt{2k\lambda /a}$. Numériquement :

Les rayons croissent comme $\sqrt{k}$ : les anneaux se resserrent vers l'extérieur, ils ne sont pas équidistants ($31,6$ ; puis $13,1$ ; $10,1$ ; $8,4\mathrm{mm}$ d'écart). Homogénéité : $\lambda /a$ est sans dimension, ${\rho }_k$ a la dimension de $D$.

Le contraste des deux géométries. Sur l'écran parallèle, $\delta$ varie linéairement autour de $0$ (franges droites équidistantes) ; sur l'écran perpendiculaire, elle est extrémale au centre et varie quadratiquement (anneaux en $\sqrt{k}$).

Ce que l'exercice installe. Établir une différence de marche, c'est calculer deux distances : l'identité $S_2{M}^2-S_1{M}^2$ isole l'approximation dans un dénominateur, et une approximation sur $\delta$ se juge à l'aune de $\lambda$, jamais en valeur relative. Les franges sont les traces sur l'écran des surfaces $\delta =$ constante : droites près d'un ordre nul, anneaux autour d'un ordre extrémal.