Démontrer que pour un mouvement circulaire uniforme de rayon r et de…

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · physique (première), chapitre 4 — Mouvement d'un système · Vers l'accélération et la deuxième loi de Newton

Énoncé

Démontrer que pour un mouvement circulaire uniforme de rayon $r$ et de vitesse $v$ , l'accélération est dirigée vers le centre et vaut $a = \frac{v ^{2}}{r}$ . (Partir de $Δ v \approx v θ$ , où $θ$ est l'angle balayé pendant $Δ t$ , et de $θ = \frac{v Δ t}{r}$ .) Application : un virage de rayon $r = 50$ m pris à $72$ km/h ; comparer $a$ à $g$ .

Corrigé

Pendant $Δ t$ , le mobile parcourt l'arc $v Δ t$ , ce qui correspond à l'angle au centre $θ = \frac{v Δ t}{r}$ . Les deux vecteurs vitesse, de même valeur $v$ , font entre eux ce même angle $θ$ : pour $θ$ petit, leur différence a pour valeur $Δ v \approx v θ$ . Donc

$a = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v θ}{Δ t} = \frac{v}{Δ t} \times \frac{v Δ t}{r} = \frac{v ^{2}}{r} .$

La direction : la construction du cours montre que $Δ v$ pointe vers le centre — l'accélération est centripète.

Application. $v = \frac{72}{3 , 6} = 20 m / s$ , donc $a = \frac{2 0 ^{2}}{50} = 8, 0 m / s^{2}$ , soit $0, 82 g$ . La force horizontale requise vaut donc $0, 82$ fois le poids : c'est à peu près la limite d'adhérence d'un pneu sur asphalte sec.

Piège : entendre « uniforme » comme « sans accélération ». Cela veut dire « à valeur de vitesse constante » — et un mouvement circulaire uniforme est toujours accéléré.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.