La vitesse de libération est la vitesse minimale qu'il faut donner à…

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · physique (première), chapitre 6 — Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques · D'autres énergies, d'autres bilans

Énoncé

La vitesse de libération est la vitesse minimale qu'il faut donner à un projectile pour qu'il échappe définitivement à l'attraction d'un astre. L'énergie potentielle de gravitation d'une masse $m$ à la distance $r$ du centre d'un astre de masse $M$ vaut $E_{p} = - \frac{GM m}{r}$ , nulle à l'infini.

En écrivant qu'il faut $E_{m} \geq 0$ , montrer que $v_{lib} = \frac{2 GM}{R}$ .
La calculer pour la Terre ( $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11}$ SI, $M = 5, 97 \times 1 0^{24}$ kg, $R = 6, 37 \times 1 0^{6}$ m).
Pourquoi le résultat ne dépend-il pas de la masse du projectile ?

Corrigé

1. Pour s'échapper, il faut pouvoir atteindre $r \to \infty$ avec $E_{c} \geq 0$ . Comme $E_{p} \to 0$ à l'infini, la condition est $E_{m} \geq 0$ au départ :

$\frac{1}{2} m v^{2} - \frac{GM m}{R} \geq 0 ⟹ v \geq \frac{2 GM}{R} .$

2. $v_{lib} = \frac{2 \times 6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} \times 5 , 97 \times 1 0 ^{24}}{6 , 37 \times 1 0 ^{6}} = 1, 25 \times 1 0^{8} = 1, 1 \times 1 0^{4} m / s$ , soit $11$ km/s ou $40000$ km/h. <br> 3. La masse $m$ figure en facteur dans les deux termes de $E_{m}$ : elle se simplifie. Une bille et une fusée doivent atteindre la même vitesse — ce qui diffère, c'est l'énergie nécessaire, elle proportionnelle à $m$ .

Contrôle : $v_{lib} = 2 \times v_{orbitale}$ , et la vitesse orbitale basse vaut environ $7, 9$ km/s : $7, 9 \times 2 = 11, 2$ km/s ✓.

Piège : oublier le signe négatif de $E_{p}$ . Une énergie potentielle de gravitation est négative par convention (nulle à l'infini) : c'est ce qui donne un sens à « échapper ».

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