physique (première) · Chapitre 6 · Exercice supplémentaire

La vitesse de libération est la vitesse minimale qu'il faut donner à…

Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques · D'autres énergies, d'autres bilans · niveau 3 (difficile)

Énoncé

La vitesse de libération est la vitesse minimale qu'il faut donner à un projectile pour qu'il échappe définitivement à l'attraction d'un astre. L'énergie potentielle de gravitation d'une masse $m$ à la distance $r$ du centre d'un astre de masse $M$ vaut $E_{p} = - \frac{GM m}{r}$ , nulle à l'infini.

En écrivant qu'il faut $E_{m} \geq 0$ , montrer que $v_{lib} = \frac{2 GM}{R}$ .
La calculer pour la Terre ( $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11}$ SI, $M = 5, 97 \times 1 0^{24}$ kg, $R = 6, 37 \times 1 0^{6}$ m).
Pourquoi le résultat ne dépend-il pas de la masse du projectile ?

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1. En écrivant qu'il faut $E_{m} \geq 0$ , montrer que $v_{lib} = \frac{2 GM}{R}$ .

Élève

Je ne sais pas trop par où commencer. On me donne $E_{p}$ et on parle de $E_{m} \geq 0$ , mais je ne vois pas le lien avec la vitesse.

Que vaut l'énergie mécanique $E_{m}$ d'un projectile de masse $m$ et de vitesse $v$ à la surface de l'astre, c'est-à-dire à la distance $r = R$ ? Exprime-la avec les deux formes d'énergie que tu connais.

Élève

L'énergie mécanique, c'est l'énergie cinétique plus l'énergie potentielle. Donc $E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} + E_{p}$ , avec $E_{p}$ négatif ici.

Oui, c'est bien la somme des deux. Remplace maintenant $E_{p}$ par son expression donnée dans l'énoncé, puis regarde ce que devient l'inégalité $E_{m} \geq 0$ : quel terme passes-tu de l'autre côté ?

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