La règle graduée contre le pied à coulisse

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique (seconde), chapitre 1 — Mesure et incertitudes · Valeur moyenne et dispersion d'une série de mesures

Énoncé

Un élève mesure huit fois la même pièce avec une règle graduée au millimètre et lit à chaque fois $15, 4 cm$ : son écart-type est donc nul. Un second élève mesure la même pièce huit fois avec un pied à coulisse et relève, en centimètres : $15, 38$ ; $15, 41$ ; $15, 39$ ; $15, 40$ ; $15, 42$ ; $15, 38$ ; $15, 40$ ; $15, 42$ .

1. Calculer la moyenne de la série du second élève.
2. Calculer son écart-type expérimental.
3. Le premier élève affirme : « mon écart-type est nul, donc ma mesure est parfaite ». Que lui répondre ?

Corrigé

1. Somme : $15, 38 + 15, 41 + 15, 39 + 15, 40 + 15, 42 + 15, 38 + 15, 40 + 15, 42 = 123, 20 cm$ , d'où $x ˉ = \frac{123 , 20}{8} = 15, 400 cm$ .
2. Les écarts à la moyenne valent, en centimètres, $- 0, 02$ ; $+ 0, 01$ ; $- 0, 01$ ; $0, 00$ ; $+ 0, 02$ ; $- 0, 02$ ; $0, 00$ ; $+ 0, 02$ . La somme de leurs carrés vaut $18 \times 1 0^{- 4}$ , donc $σ = \frac{18 \times 1 0 ^{- 4}}{7} = 2, 57 \times 1 0^{- 4} \approx 0, 016 cm .$
3. Son écart-type est nul parce que sa règle ne peut rien afficher d'autre : graduée au millimètre, elle ramène toutes ses lectures à la même valeur. Une dispersion nulle obtenue avec un instrument trop peu résolu ne prouve pas la qualité de la mesure, elle la masque. Le second élève, lui, annonce $15, 400 cm$ avec une dispersion connue de $0, 016 cm$ : sa mesure est à la fois plus résolue et documentée.

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