Double pendule

Les équations différentielles décrivant le comportement chaotique du double pendule sont intégrées à l'aide du solveur solve_ivp.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp

def double_pendule(t, X, m1, m2, L1, L2, g):
    theta1, theta2, omega1, omega2 = X

    # Calculs intermédiaires
    delta_theta = theta1 - theta2
    denom1 = m1 + m2 * np.sin(delta_theta)**2
    denom2 = (m1 + m2) * L1

    # Accélérations
    alpha1 = (m2 * L1 * (omega1**2) * np.sin(delta_theta) * np.cos(delta_theta) +
              m2 * g * np.sin(theta2) * np.cos(delta_theta) +
              m2 * L2 * (omega2**2) * np.sin(delta_theta) -
              (m1 + m2) * g * np.sin(theta1)) / (denom1 * L1)

    alpha2 = ((-m2 * L2 * (omega2**2) * np.sin(delta_theta) * np.cos(delta_theta) +
               (m1 + m2) * g * np.sin(theta1) * np.cos(delta_theta) -
               (m1 + m2) * L1 * (omega1**2) * np.sin(delta_theta) -
               (m1 + m2) * g * np.sin(theta2)) / (denom1 * L2))

    return [omega1, omega2, alpha1, alpha2]

# Paramètres
m1, m2 = 1.0, 1.0
L1, L2 = 1.0, 1.0
g = 9.81

X0 = [np.pi/2, np.pi/2, 0.0, 0.0]
t0, tf = 0.0, 20.0

solution = solve_ivp(double_pendule, [t0, tf], X0,
                     args=(m1, m2, L1, L2, g),
                     method='RK45', rtol=1e-8, max_step=0.01)

t = solution.t
theta1, theta2 = solution.y[0], solution.y[1]

# Positions cartésiennes pour le tracé
x1 = L1 * np.sin(theta1)
y1 = -L1 * np.cos(theta1)
x2 = x1 + L2 * np.sin(theta2)
y2 = y1 - L2 * np.cos(theta2)

plt.figure(figsize=(12, 5))

plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(t, theta1, 'b-', label='theta1')
plt.plot(t, theta2, 'r-', label='theta2')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('Angle (rad)')
plt.title('Évolution des angles')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x2, y2, 'b-', alpha=0.5)
plt.plot(x2[-1], y2[-1], 'ro', markersize=8)
plt.xlabel('x (m)')
plt.ylabel('y (m)')
plt.title('Trajectoire du second pendule')
plt.axis('equal')
plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

Comportement chaotique angulaire et trajectoire spatiale complexe du double pendule.