Détection de débordement — exercice corrigé de Python (école d'ingénieur) (chapitre 3)

Détection de débordement

Représentation des nombres en machine

Énoncé

On considère des entiers signés codés en complément à deux sur 4 bits (intervalle $[- 8, 7]$ ). Pour chacune des opérations suivantes, effectuer le calcul binaire et indiquer si un débordement (overflow) se produit. Justifier.

$5 + 3$

$5 + 4$

$(- 5) + (- 4)$

$(- 6) + (- 3)$

Corrigé

Représentations sur 4 bits : $5 = (0101)_{2}$ , $3 = (0011)_{2}$ , $4 = (0100)_{2}$ , $- 5 = (1011)_{2}$ , $- 4 = (1100)_{2}$ , $- 6 = (1010)_{2}$ , $- 3 = (1101)_{2}$ .

$5 + 3 = 8$ : $(0101)_{2} + (0011)_{2} = (1000)_{2}$ . En complément à deux sur 4 bits, $(1000)_{2}$ représente $- 8$ . Il y a débordement (overflow) car la somme de deux nombres positifs donne un nombre négatif.

$5 + 4 = 9$ : $(0101)_{2} + (0100)_{2} = (1001)_{2}$ . $(1001)_{2}$ représente $- 7$ . Il y a débordement car la somme dépasse la limite de $+ 7$ .

$(- 5) + (- 4) = - 9$ : $(1011)_{2} + (1100)_{2} = (10111)_{2} \to (0111)_{2}$ sur 4 bits. $(0111)_{2}$ vaut $+ 7$ . Il y a débordement car la somme de deux nombres négatifs donne un nombre positif.

$(- 6) + (- 3) = - 9$ : $(1010)_{2} + (1101)_{2} = (10111)_{2} \to (0111)_{2}$ sur 4 bits. Débordement pour la même raison.