sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Centrale inertielle de drone : fusionner deux capteurs imparfaits

Ingénierie Système et Description Fonctionnelle · C. Chaînes fonctionnelles : énergie et information · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Pour stabiliser son assiette, un drone estime son angle de tangage $θ$ avec deux capteurs : un gyromètre, qui mesure la vitesse angulaire $ω = θ ˙$ mais avec un biais constant $b = 0, 05^{\circ} / s$ ; un accéléromètre, qui mesure la direction de la pesanteur apparente et en déduit un angle $θ_{acc}$ , exact à l'arrêt mais faux quand le drone accélère horizontalement. Le calculateur exécute, toutes les $Δ t = 2 ms$ , l'algorithme suivant (filtre complémentaire) : $θ_{k + 1} = α (θ_{k} + ω_{k} Δ t) + (1 - α) θ_{acc, k}, 0 < α < 1.$ Exigence : erreur sur l'angle estimé inférieure ou égale à $1^{\circ}$ , en vol stationnaire comme pendant une manœuvre de $0, 5 s$ à $2 m/ s^{2}$ d'accélération horizontale.

1) Quelle grandeur physique chaque capteur mesure-t-il ? Montrer que, pendant la manœuvre, l'accéléromètre se trompe de $arctan (a / g)$ et le chiffrer.

2) On n'utilise que le gyromètre ( $θ$ obtenu en cumulant $ω_{k} Δ t$ ). Quelle erreur après $1 min$ , après $10 min$ ?

3) L'attitude vraie est constante. On note $e_{k} = θ_{k} - θ_{vrai}$ , $ω_{k} = b$ et $θ_{acc, k} = θ_{vrai} + d_{k}$ . Établir $e_{k + 1} = α e_{k} + α b Δ t + (1 - α) d_{k}$ . En vol stationnaire ( $d_{k} = 0$ ), vers quelle erreur l'estimation converge-t-elle ?

4) Pendant la manœuvre, $d_{k} = d$ pendant $N$ pas, en partant de $e_{0} = 0$ (on néglige le biais). Montrer que $e_{N} = d (1 - α^{N})$ . Conclure pour $α = 0, 98$ .

5) On pose $τ = α Δ t / (1 - α)$ et l'on admet $α^{N} \approx e^{- T / τ}$ pour une durée $T = N Δ t$ . Traduire l'exigence en un intervalle de $τ$ , puis de $α$ . Vérifier $α = 0, 9998$ .

6) Cas limite : un virage de $10 s$ à la même accélération. Existe-t-il encore un $α$ convenable ? Que faut-il changer ?

Corrigé

La stratégie. Chaque capteur a un défaut propre : le gyromètre dérive lentement (un biais intégré), l'accéléromètre se trompe pendant les accélérations (un défaut bref). L'algorithme fait confiance à l'un à court terme et à l'autre à long terme. On l'analyse comme une suite numérique, et l'on cherche le réglage qui tient les deux cas.

1) Les capteurs. Le gyromètre mesure une vitesse angulaire (en $^{\circ} / s$ ) ; l'angle s'obtient en l'intégrant. L'accéléromètre mesure l'accélération spécifique $a - g$ : à l'arrêt, c'est $- g$ , dont la direction donne l'inclinaison. Si le drone accélère horizontalement de $a$ , le vecteur mesuré s'incline de $arctan (a / g) = arctan (2/9, 81) = 11, 5^{\circ}$ : l'accéléromètre seul se trompe de $11, 5^{\circ}$ , non conforme.

2) Gyromètre seul. L'angle cumule le biais : erreur $b t$ , soit $0, 05 \times 60 = 3^{\circ}$ en une minute et $3 0^{\circ}$ en dix : non conforme au bout de $20 s$ déjà. Le gyromètre est excellent à court terme, inutilisable à long terme.

3) La récurrence. On soustrait $θ_{vrai} = α θ_{vrai} + (1 - α) θ_{vrai}$ à l'algorithme : $e_{k + 1} = α (e_{k} + b Δ t) + (1 - α) d_{k} .$ C'est une suite arithmético-géométrique de raison $α < 1$ : elle converge. Avec $d_{k} = 0$ , sa limite vérifie $e_{\infty} = α e_{\infty} + α b Δ t$ , soit $e_{\infty} = \frac{α b Δ t}{1 - α} .$ Pour $α = 0, 98$ : $e_{\infty} = \frac{0 , 98 \times 0 , 05 \times 0 , 002}{0 , 02} = 0, 004 9^{\circ}$ : le biais est neutralisé, conforme.

4) La manœuvre. Sans biais, $e_{k + 1} = α e_{k} + (1 - α) d$ ; la suite $e_{k} - d$ est géométrique de raison $α$ et vaut $- d$ en $k = 0$ , donc $e_{N} = d (1 - α^{N})$ . La manœuvre dure $N = 0, 5/0, 002 = 250$ pas ; $0, 9 8^{250} = 0, 0064$ , d'où $e_{250} = 11, 5 \times 0, 9936 = 11, 4^{\circ}$ : non conforme. Le réglage $α = 0, 98$ suit l'accéléromètre presque immédiatement : il croit à la fausse inclinaison.

5) La fenêtre de réglage. Avec $τ = α Δ t / (1 - α)$ , l'erreur de biais vaut $b τ$ et celle de manœuvre $d (1 - e^{- T / τ})$ . Les deux conditions : $b τ \leq 1^{\circ} ⟺ τ \leq \frac{1}{0 , 05} = 20 s,$ $d (1 - e^{- T / τ}) \leq 1^{\circ} ⟺ τ \geq \frac{T}{ln \frac{d}{d - 1}} = \frac{0 , 5}{ln ( 11 , 5/10 , 5 )} = 11, 0 T = 5, 5 s .$ Comme $α = τ / (τ + Δ t)$ , la fenêtre $τ \in [5, 5; 20] s$ donne $α \in [0, 99964; 0, 99990]$ . Pour $α = 0, 9998$ , $τ = 10, 0 s$ : erreur de biais $0, 5 0^{\circ}$ , erreur de manœuvre $11, 5 \times (1 - 0, 999 8^{250}) = 0, 5 6^{\circ}$ : conforme dans les deux cas.

6) Cas limite. Pour $T = 10 s$ , la condition de manœuvre exige $τ \geq 110 s$ , incompatible avec $τ \leq 20 s$ : aucun $α$ ne convient (la fenêtre se ferme dès $T = 20/11, 0 = 1, 8 s$ ). Le défaut de l'accéléromètre n'est plus « bref » : il faut modéliser l'accélération (la calculer à partir de la vitesse mesurée par le GPS et la retrancher), c'est-à-dire changer d'algorithme, pas de réglage.

Ce que l'exercice installe. Caractériser un capteur, c'est dire ce qu'il mesure et comment il se trompe (biais lent, défaut bref). Un algorithme de traitement s'analyse comme une suite : point fixe (erreur permanente) et convergence géométrique (erreur transitoire). Un réglage se choisit dans une fenêtre tirée des deux exigences, et un cas limite dit quand aucun réglage ne suffit et qu'il faut changer de modèle.

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