sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Monte-charge : chaîne de puissance et choix du motoréducteur

Ingénierie Système et Description Fonctionnelle · C. Chaînes fonctionnelles : énergie et information · niveau 2

Énoncé

Un monte-charge d'entrepôt hisse un plateau chargé de masse totale $M = 400 kg$ à la vitesse constante $v = 0, 6 m/s$ ( $g = 9, 81 m/ s^{2}$ ). Le câble s'enroule sur un tambour de rayon $R = 0, 15 m$ , entraîné par un réducteur de rapport $1/50$ (la vitesse de sortie est le cinquantième de celle du moteur), lui-même entraîné par un moteur asynchrone piloté par un variateur relié au réseau. Données de l'énoncé (rendements, notion de deuxième année) : variateur $0, 95$ ; moteur $0, 82$ ; réducteur $0, 90$ ; tambour et câble $0, 98$ ; on admet que le rendement d'une chaîne en série est le produit des rendements, et qu'il est le même quand la puissance circule en sens inverse. Catalogue de moteurs (puissance et vitesse nominales) : A, $2, 2 kW$ à $2890 tr/min$ ; B, $3, 0 kW$ à $1950 tr/min$ ; C, $4, 0 kW$ à $1450 tr/min$ .

1) Associer à chaque constituant sa fonction de la chaîne de puissance. Pour chaque flux (flèche), donner la nature de l'énergie et le couple de grandeurs dont le produit est la puissance transmise.

2) Calculer la puissance utile $P_{u}$ fournie au plateau, la vitesse angulaire du tambour et celle du moteur (en $rad/s$ et en $tr/min$ ).

3) Calculer la puissance et le couple que doit fournir l'arbre moteur, puis la puissance prélevée sur le réseau.

4) Choisir le moteur dans le catalogue. Pour chacun, calculer la vitesse de montée qu'il donnerait à sa vitesse nominale et son couple nominal. Conclure, avec les marges.

5) En descente à $0, 6 m/s$ , la charge entraîne le système. Quelle puissance arrive au variateur ? Que doit-il en faire ?

Corrigé

La stratégie. On remonte la chaîne de puissance depuis l'effecteur, car c'est là que le cahier des charges est écrit (une masse, une vitesse). À chaque interface, la puissance est le produit d'une grandeur d'effort et d'une grandeur de flux ; les transmetteurs changent les grandeurs (et perdent un peu de puissance), pas la nature du problème.

1) Fonctions et flux. Alimenter : le réseau ; moduler : le variateur (il dose la puissance envoyée au moteur selon la commande) ; convertir : le moteur (électrique vers mécanique) ; transmettre : le réducteur, puis le tambour et le câble (rotation vers translation) ; agir : le plateau, qui déplace la charge. Flux : réseau vers variateur, puis variateur vers moteur : énergie électrique, $P = U I$ ; moteur vers réducteur et réducteur vers tambour : énergie mécanique de rotation, $P = C ω$ ; câble vers plateau : énergie mécanique de translation, $P = F v$ .

2) Côté charge. À vitesse constante, la tension du câble équilibre le poids : $F = M g = 3924 N$ et $P_{u} = F v = 400 \times 9, 81 \times 0, 6 = 2354 W .$ Le câble s'enroule sans glisser : $ω_{t} = v / R = 0, 6/0, 15 = 4, 0 rad/s$ . Le réducteur divise la vitesse par $50$ : $ω_{m} = 50 \times 4, 0 = 200 rad/s$ , soit $200 \times 60/ (2 π) = 1910 tr/min$ .

3) Côté moteur. L'arbre moteur fournit la puissance utile augmentée des pertes du réducteur et du tambour : $P_{m} = \frac{P _{u}}{0 , 90 \times 0 , 98} = \frac{2 354}{0 , 882} = 2669 W, C_{m} = \frac{P _{m}}{ω _{m}} = \frac{2 669}{200} = 13, 3 N \cdot m .$ Rendement global $η = 0, 95 \times 0, 82 \times 0, 90 \times 0, 98 = 0, 6871$ ; puissance prélevée $P_{u} / η = 2 354/0, 6871 = 3427 W$ . Près d'un tiers de la puissance part en chaleur, surtout dans le moteur.

4) Choix du moteur. Il faut à la fois une puissance d'au moins $2, 67 kW$ et une vitesse d'environ $1910 tr/min$ , le réducteur étant imposé.

A : $2, 2 kW < 2, 67 kW$ , non conforme (et il monterait à $0, 6 \times 2 890/1 910 = 0, 91 m/s$ , avec un couple nominal de $7, 3 N \cdot m$ , très insuffisant) ;
C : puissance surabondante, mais à $1450 tr/min$ le plateau ne monte qu'à $0, 46 m/s$ , non conforme ( $- 24 %$ ) ;
B : $3, 0 kW$ (marge $12 %$ ), couple nominal $3 000/ (1950 \times 2 π /60) = 14, 7 N \cdot m$ (marge $10 %$ ), vitesse de montée $0, 61 m/s$ : conforme.

On retient B. Choisir le moteur « le plus puissant » (C) aurait été une erreur : un moteur se choisit sur un couple et une vitesse, pas sur une puissance seule.

5) Descente. La charge fournit $2354 W$ ; il en arrive $2354 \times 0, 882 = 2077 W$ sur l'arbre moteur, et le moteur, devenu générateur, en rend $2077 \times 0, 82 = 1703 W$ au variateur. Celui-ci doit les dissiper (résistance de freinage) ou les renvoyer au réseau ; sinon la tension de son bus continu monte et il se met en défaut, et le plateau n'est plus retenu que par le frein. La chaîne de puissance doit être conçue pour les deux sens de circulation de l'énergie.

Ce que l'exercice installe. On identifie alimenter, moduler, convertir, transmettre, agir, et, à chaque interface, le couple effort-flux dont le produit est la puissance. On remonte la chaîne depuis l'effecteur ; un transmetteur change les grandeurs (le réducteur multiplie la vitesse par $50$ en remontant et divise le couple d'autant, aux pertes près). Un actionneur se choisit sur deux critères à la fois (couple et vitesse), avec les marges ; une charge entraînante renverse le sens de la puissance, et la chaîne doit le prévoir.

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