sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Robot de palettisation : trois écarts, et sur lequel agir ?

Ingénierie Système et Description Fonctionnelle · A. Introduction à la démarche de l'ingénieur · niveau 2

Énoncé

Un robot portique empile des colis sur des palettes en bout de ligne de conditionnement. Exigence du cahier des charges : temps de cycle (prise, transfert, dépose, retour) inférieur ou égal à $1, 20 s$ , soit une cadence de $3000$ colis par heure. Le bureau d'études a simulé le cycle avec un modèle multiphysique de l'axe principal (moteur, réducteur, courroie, chariot) : il prévoit $1, 15 s$ . Sur le prototype, on chronomètre dix cycles successifs :

cycle	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
durée (s)	$1, 24$	$1, 29$	$1, 26$	$1, 31$	$1, 25$	$1, 27$	$1, 28$	$1, 24$	$1, 30$	$1, 26$

1) Calculer la moyenne et l'écart type expérimental des dix durées, puis l'incertitude-type sur la moyenne (évaluation de type A, comme en physique). Le prototype tient-il le cahier des charges ? L'écart est-il significatif ?

2) Calculer les trois écarts relatifs. Que juge chacun d'eux ?

3) Établir la relation $(1 + ε_{3}) = (1 + ε_{1}) (1 + ε_{2})$ . Que dit-elle de la « marge » du modèle ?

4) L'enregistrement du courant moteur montre que le variateur reste en limitation de courant pendant une partie de chaque accélération, et qu'un frottement sec d'environ $8 %$ du couple nominal s'oppose au démarrage ; le modèle ne contenait ni l'un ni l'autre. Enrichi de ces deux phénomènes, il prévoit $1, 26 s$ . Recalculer les écarts 1 et 2. Sur quoi faut-il agir désormais, et dans quel ordre ?

Corrigé

La stratégie. On résume d'abord les mesures (moyenne et dispersion), parce qu'un écart calculé sur une seule mesure ne veut rien dire ; puis on calcule les trois écarts dans le bon sens, chacun rapporté à sa référence ; enfin on se demande lequel est la cause des deux autres.

1) Mesures. La moyenne vaut $t ˉ = \frac{12 , 70}{10} = 1, 270 s$ . L'écart type expérimental $s = \frac{\sum ( t _{i} - t ˉ ) ^{2}}{n - 1}$ vaut $s = 0, 0245 s$ (somme des carrés des écarts : $0, 0054 s^{2}$ , divisée par $9$ ). L'incertitude-type sur la moyenne est $u (t ˉ) = s / n = 0, 0077 s$ . Le temps moyen dépasse l'exigence de $0, 070 s$ , soit environ neuf incertitudes-types : l'écart n'est pas un effet du hasard. D'ailleurs, aucun des dix cycles n'est sous $1, 20 s$ . La cadence réelle est $3 600/1, 27 = 2835$ colis par heure, $5, 5 %$ de moins que prévu : non conforme.

2) Les trois écarts. $ε_{1} ε_{2} ε_{3} = \frac{1 , 15 - 1 , 20}{1 , 20} = - 4, 2 %, = \frac{1 , 27 - 1 , 15}{1 , 15} = + 10, 4 %, = \frac{1 , 27 - 1 , 20}{1 , 20} = + 5, 8 %.$ L'écart 1 juge la conception : le modèle, s'il est juste, atteint-il les performances ? Oui, avec $4, 2 %$ d'avance. L'écart 2 juge le modèle : prédit-il le réel ? Non, il se trompe de $10, 4 %$ . L'écart 3 juge le produit livré : il est hors exigence de $5, 8 %$ .

3) Composition. Par définition, $1 + ε_{1} = X_{mod} / X_{CdC}$ et $1 + ε_{2} = X_{r e ˊ el} / X_{mod}$ ; leur produit vaut $X_{r e ˊ el} / X_{CdC} = 1 + ε_{3}$ . Vérification : $0, 9583 \times 1, 1043 = 1, 0583$ . Au premier ordre, $ε_{3} \approx ε_{1} + ε_{2}$ . La leçon est nette : une marge de conception ne protège que si elle dépasse l'erreur du modèle. Ici le modèle s'accordait $4, 2 %$ de marge mais se trompait de $10, 4 %$ : la non-conformité était inscrite dans l'écart 2.

4) Modèle enrichi. Avec $1, 26 s$ : $ε_{2}^{'} = \frac{1 , 27 - 1 , 26}{1 , 26} = + 0, 8 %$ , de l'ordre de l'incertitude de mesure : le modèle est désormais validé. Mais $ε_{1}^{'} = \frac{1 , 26 - 1 , 20}{1 , 20} = + 5, 0 %$ : le modèle juste prédit lui-même la non-conformité. L'ordre des actions est donc : d'abord le modèle (c'est fait), ensuite la conception, en se servant du modèle validé pour essayer les remèdes avant de toucher au prototype (relever la limite de courant si le moteur le supporte, raccourcir la trajectoire, alléger le chariot), et seulement en dernier recours, renégocier l'exigence avec le client. Agir sur le prototype avant d'avoir un modèle juste, c'est corriger à l'aveugle.

Ce que l'exercice installe. Un écart se calcule relatif, signé et rapporté à sa référence ; on résume une série de mesures par sa moyenne et son incertitude avant de conclure. Les trois écarts se composent : $(1 + ε_{3}) = (1 + ε_{1}) (1 + ε_{2})$ . Une marge de conception plus petite que l'erreur du modèle ne garantit rien : on valide le modèle d'abord, puis on s'en sert pour corriger le système.

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