sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Vélo à assistance électrique : d'un besoin à des exigences vérifiables

Ingénierie Système et Description Fonctionnelle · B. Le langage SysML · niveau 2

Énoncé

Une entreprise conçoit un vélo à assistance électrique pour les trajets domicile-travail. Le besoin, tel que l'exprime le client : « aller au travail sans effort et sans voiture, toute la semaine, en ne rechargeant que le week-end ». La réglementation européenne impose que l'assistance se coupe au-delà de $25 km/h$ et que la puissance nominale du moteur ne dépasse pas $250 W$ .

Données de l'énoncé. Batterie de $36 V$ , $14 Ah$ , dont on n'utilise que $80 %$ pour préserver sa durée de vie. Consommation électrique mesurée sur parcours urbain : $130 W$ en moyenne à $20 km/h$ , $200 W$ à $25 km/h$ . Trajet : $2 \times 7 km$ par jour, cinq jours par semaine, $220$ jours par an. Analyse du cycle de vie simplifiée : fabrication du vélo et de sa batterie $135 kg$ d'équivalent $C O_{2}$ , plus $100 kg$ par kilowattheure de batterie supplémentaire ; électricité $0, 060 kg C O_{2} e/kWh$ ; consommation moyenne, recharge comprise, $8 Wh/km$ ; voiture remplacée $0, 20 kg C O_{2} e/km$ ; densité d'énergie d'une batterie $160 Wh/kg$ .

1) Traduire le besoin en quatre exigences (identifiant, critère, niveau, conditions de vérification), dont les deux exigences réglementaires et une exigence d'autonomie. Pourquoi l'exigence d'autonomie est-elle raffinée en une exigence sur l'énergie embarquée, et pourquoi n'est-ce pas une simple décomposition ?

2) Vérifier par le calcul l'exigence « autonomie $\geq 60 km$ » à $20 km/h$ , puis à $25 km/h$ . Que faut-il en conclure sur la manière d'écrire l'exigence ?

3) Quelle batterie faudrait-il (en $Ah$ sous $36 V$ , par pas de $0, 5 Ah$ ) pour tenir $60 km$ à $25 km/h$ ? Combien pèse-t-elle de plus ?

4) Exigence environnementale : émissions sur le cycle de vie inférieures ou égales à $15 g C O_{2} e/km$ sur les $10000$ premiers kilomètres. Au bout de combien de kilomètres, puis de mois, le vélo de base a-t-il « remboursé » sa fabrication par rapport à la voiture ? Tient-il l'exigence ? Et le vélo à grosse batterie ?

5) Conclure : quelle version proposer, et comment réécrire l'exigence d'autonomie ?

Corrigé

La stratégie. Une exigence n'existe que si l'on sait la vérifier : on lui donne un critère mesurable, un niveau et des conditions. On vérifie ensuite chaque exigence par le calcul, et l'on regarde si deux exigences ne se contredisent pas.

1) Les exigences. Par exemple : Ex1 « Couper l'assistance » : vitesse de coupure $\leq 25 km/h$ , mesurée sur banc, flexibilité nulle (réglementaire). Ex2 « Limiter la puissance » : puissance nominale $\leq 250 W$ , flexibilité nulle (réglementaire). Ex3 « Rouler la semaine » : autonomie $\geq 60 km$ (cinq jours à $14 km$ , plus une marge de $16 %$ ), dans des conditions à préciser (question 2). Ex4 « Réduire l'empreinte » : émissions $\leq 15 g C O_{2} e/km$ sur $10000 km$ . Les quatre sont contenues dans l'exigence de besoin « Se déplacer au travail » : c'est la relation de décomposition (le cercle à croix du diagramme d'exigences). L'exigence « énergie utile embarquée $\geq E_{m i n}$ » n'est pas une partie de Ex3 : elle s'en déduit par un calcul (l'autonomie vaut l'énergie divisée par la consommation kilométrique), c'est une exigence dérivée ; elle s'adresse à la batterie, pas au vélo entier.

2) Autonomie. Énergie embarquée $36 \times 14 = 504 Wh$ , utile $0, 8 \times 504 = 403, 2 Wh$ . À $20 km/h$ , un kilomètre dure $3 min$ et consomme $130/20 = 6, 5 Wh$ : autonomie $403, 2/6, 5 = 62, 0 km$ , conforme, marge $3 %$ . À $25 km/h$ , $200/25 = 8, 0 Wh/km$ et $403, 2/8, 0 = 50, 4 km$ : non conforme. La même machine est conforme ou non selon les conditions : l'exigence « autonomie $\geq 60 km$ » telle quelle n'est pas vérifiable. Il faut écrire ses conditions : vitesse moyenne, masse du cycliste, dénivelé, niveau d'assistance.

3) Grosse batterie. Il faut $60 \times 8, 0 = 480 Wh$ utiles, donc $480/0, 8 = 600 Wh$ embarqués, soit $600/36 = 16, 7 Ah$ : on retient $17, 5 Ah$ ( $630 Wh$ , autonomie $63 km$ ). Le supplément de $126 Wh$ pèse $126/160 = 0, 79 kg$ .

4) Cycle de vie. Le vélo émet, par kilomètre d'usage, $8 \times 1 0^{- 3} \times 0, 060 = 0, 48 g C O_{2} e$ , quand la voiture en émet $200 g$ . Il rembourse sa fabrication après $d^{*} = \frac{135 000 g}{( 200 - 0 , 48 ) g/km} = 677 km,$ soit, à $3080 km$ par an, 2,6 mois de trajets. Sur $10000 km$ : $\frac{135 000 + 10 000 \times 0 , 48}{10 000} = 14, 0 g/km$ , conforme (marge $7 %$ ). Le vélo à grosse batterie ajoute $0, 126 \times 100 = 12, 6 kg$ à la fabrication : $\frac{147 600 + 4 800}{10 000} = 15, 2 g/km$ , non conforme de justesse.

5) Conclusion. Les exigences Ex3 et Ex4 tirent en sens contraires : plus d'autonomie, c'est plus de batterie, donc plus de fabrication. On propose la version de base et l'on réécrit Ex3 : « autonomie $\geq 60 km$ à $20 km/h$ de moyenne, cycliste de $80 kg$ , parcours plat, assistance intermédiaire ». Une exigence chiffrée et conditionnée permet de trancher ; une exigence vague aurait conduit à surdimensionner la batterie sans que personne ne puisse dire pourquoi.

Ce que l'exercice installe. Une exigence se donne par un critère, un niveau et des conditions ; sans conditions elle n'est pas vérifiable. On distingue la décomposition (contenance) de la dérivation (une exigence obtenue par un calcul, adressée à un sous-système). Les exigences se vérifient par des bilans simples, et deux exigences peuvent se contredire : l'analyse du cycle de vie en est un critère à part entière, chiffré comme les autres.

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