sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 7 · Exercice de TD

Convoyeur incliné de colis : glisser ou basculer ?

Statique et Actions Mécaniques · B. Lois du frottement de Coulomb et cône d'adhérence · niveau 2

Énoncé

Un convoyeur à bande monte des colis entre deux niveaux d'un centre de tri ; la bande est inclinée de $α = 2 0^{\circ}$ et avance à vitesse constante. Les colis sont des parallélépipèdes homogènes de longueur $b$ (le long de la pente) et de hauteur $h$ . Coefficient d'adhérence carton-bande : $f_{0} = 0, 6$ à sec, $f_{0} = 0, 35$ si le carton est humide. On étudie trois colis : $A$ ( $b = 0, 4 m$ , $h = 0, 3 m$ ), $B$ ( $b = 0, 2 m$ , $h = 0, 6 m$ ), $C$ ( $b = 0, 3 m$ , $h = 0, 5 m$ ). Exigence : aucun colis ne doit glisser ni basculer.

1) Isoler un colis. Faire le bilan des actions extérieures ; modéliser l'action répartie de la bande par un glisseur passant par un point $I$ de la face d'appui. Écrire le principe fondamental en projection sur la pente et sur sa normale.

2) En déduire la condition de non-glissement. Conclure pour un carton sec, puis humide.

3) Écrire les moments en $G$ et en déduire la distance $e$ entre $I$ et le pied de la perpendiculaire abaissée de $G$ sur la bande. En déduire la condition de non-basculement.

4) Appliquer aux trois colis. Lequel glisse, lequel bascule, et dans quel ordre les deux phénomènes apparaîtraient-ils si l'on relevait la bande ?

5) Conclure sur l'exigence : quelles règles d'acceptation des colis, ou quel angle de bande, faut-il retenir ?

Corrigé

La stratégie. Deux phénomènes possibles, deux conditions indépendantes : le glissement porte sur la direction de l'action de contact (le cône d'adhérence), le basculement sur la position de son point d'application (il doit rester dans la surface d'appui). On les écrit séparément, puis on compare.

1) Bilan et équilibre. Le colis avance à vitesse constante : il est en équilibre dans le référentiel du sol, supposé galiléen. Actions extérieures : le poids, action à distance, $m g$ en $G$ ; l'action de la bande, répartie sur la face d'appui. Celle-ci est une répartition de forces de mêmes direction et sens ; elle se réduit à un glisseur $R = N + T$ passant par un point $I$ de la face d'appui (au barycentre des pressions). Avec $u$ selon la pente (vers le haut) et $n$ normale à la bande : $T - m g sin α = 0, N - m g cos α = 0.$ Le colis ne glisse pas sur la bande : $T$ est une inconnue d'adhérence, dirigée vers le haut de la pente, qui vaut ce qu'il faut.

2) Glissement. La condition d'adhérence $T \leq f_{0} N$ devient $tan α \leq f_{0}$ , soit $α \leq φ_{0}$ : la masse disparaît, seul compte l'angle. À sec, $φ_{0} = arctan 0, 6 = 31, 0^{\circ} \geq 2 0^{\circ}$ : pas de glissement. Humide, $φ_{0} = arctan 0, 35 = 19, 3^{\circ} < 2 0^{\circ}$ : le colis glisse. Pour un colis de $12 kg$ , $N = 110, 6 N$ et il faudrait $T = 40, 3 N$ , quand la bande humide n'en offre que $38, 7$ .

3) Basculement. Les moments en $G$ : le poids n'en a pas ; $N$ appliquée à la distance $e$ du pied de la perpendiculaire donne $N e$ ; $T$ , appliquée sur la face d'appui à la distance $h /2$ de $G$ , donne $T h /2$ en sens contraire. D'où $N e = T \frac{h}{2} ⟹ e = \frac{h}{2} tan α .$ Le point $I$ est décalé vers le bas de la pente. Il doit rester dans la face d'appui, $e \leq b /2$ ; sinon il n'existe aucune répartition de pressions positives qui équilibre le colis, et il bascule autour de son arête aval. La condition est $tan α \leq b / h$ : la verticale de $G$ doit tomber dans la base.

4) Les trois colis. À $2 0^{\circ}$ , $tan α = 0, 364$ :

colis $A$ : $e = 0, 15 \times 0, 364 = 0, 055 m \leq 0, 20 m$ ; il ne basculerait qu'à $arctan (0, 4/0, 3) = 53, 1^{\circ}$ ;
colis $B$ : $e = 0, 3 \times 0, 364 = 0, 109 m > 0, 10 m$ : il bascule ; sa limite est $arctan (0, 2/0, 6) = 18, 4^{\circ}$ ;
colis $C$ : $e = 0, 091 m \leq 0, 15 m$ ; limite $arctan (0, 3/0, 5) = 31, 0^{\circ}$ .

En relevant la bande, chaque colis subit le premier des deux seuils atteint : le colis $A$ glisse ( $31, 0^{\circ}$ à sec) bien avant de basculer ( $53, 1^{\circ}$ ) ; le colis $B$ bascule ( $18, 4^{\circ}$ ) avant de glisser ; le colis $C$ , à sec, atteint les deux seuils ensemble ( $31, 0^{\circ}$ ), humide il glisse d'abord.

5) Conclusion. À $2 0^{\circ}$ , l'exigence n'est pas tenue pour deux raisons distinctes : les colis élancés ( $h / b > 1/ tan 2 0^{\circ} = 2, 75$ ) basculent, et les cartons humides glissent. Deux politiques : accepter tous les colis courants en abaissant la bande à $1 8^{\circ}$ ( $tan 1 8^{\circ} = 0, 325 \leq 0, 35$ , et $h / b$ admissible jusqu'à $3, 08$ ), au prix d'un convoyeur plus long ; ou garder $2 0^{\circ}$ en imposant une bande à tasseaux (qui supprime le glissement) et une règle d'acceptation $h / b \leq 2, 5$ , qui garde une marge sur $2, 75$ . On note que la masse du colis n'apparaît dans aucune condition.

Ce que l'exercice installe. Le modèle global d'une action répartie a un point d'application : sa position, donnée par l'équation des moments, décide du basculement. Le glissement se juge sur la direction de la résultante (le cône), le basculement sur sa position (la surface d'appui) : deux conditions indépendantes, la première atteinte l'emporte. Les deux sont géométriques et ne dépendent pas de la masse.

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