sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 7 · Exercice de TD

Cric à vis : soulever avec 200 N et ne jamais redescendre seul

Statique et Actions Mécaniques · B. Lois du frottement de Coulomb et cône d'adhérence · niveau 2

Énoncé

Un cric de garage lève une charge $F_{a} = 15 kN$ par une vis verticale Tr $20 \times 4$ (filet trapézoïdal à un filet, pas $p = 4 mm$ , rayon moyen $r_{m} = 9 mm$ ) tournant dans un écrou en bronze fixe ; la tête de vis appuie sous la charge par une butée plane de rayon moyen $r_{b} = 12 mm$ . Coefficient de frottement acier-bronze graissé : $f = 0, 15$ , le même dans la butée. On donne : pour un filet trapézoïdal de demi-angle $1 5^{\circ}$ , tout se passe comme pour un filet carré avec le coefficient apparent $f^{'} = f / cos 1 5^{\circ}$ . On manœuvre la vis par une manivelle de rayon $0, 30 m$ . Exigences : effort de manœuvre au plus $250 N$ à la montée ; la charge ne doit jamais redescendre seule.

1) Développer le filet sur son rayon moyen : montrer que l'angle d'hélice vérifie $tan α = \frac{p}{2 π r _{m}}$ et le calculer ; calculer l'angle de frottement apparent $φ^{'} = arctan f^{'}$ .

2) Montée. Sur le filet développé, la charge est un bloc poussé vers le haut d'un plan incliné par une force horizontale $H$ (l'action tangentielle de la vis, au rayon $r_{m}$ ). Montrer, par le cône de frottement, que $H = F_{a} tan (α + φ^{'})$ . En déduire le couple dans le filet, le couple dans la butée et l'effort à la manivelle. Conclure.

3) Descente. Le frottement change de sens : montrer que le couple à fournir pour descendre vaut $F_{a} r_{m} tan (φ^{'} - α)$ pour le filet. En déduire la condition pour que la charge ne redescende pas seule.

4) Sans aucun frottement, quel couple faudrait-il ? Comparer au couple réel de montée et commenter.

5) Cas limite : un filet sur-graissé descend à $f = 0, 05$ (la butée restant à $0, 15$ ). Le cric est-il encore irréversible ? Et si l'on remplaçait la butée plane par une butée à billes ( $f_{b} \approx 0, 005$ ) ?

Corrigé

La stratégie. Une vis est un plan incliné enroulé. En le développant, on ramène l'hélice à un bloc sur une pente, où les lois de Coulomb se lisent sur le cône : à la limite du glissement, la résultante de contact fait l'angle $φ^{'}$ avec la normale, du côté opposé au mouvement. Montée et descente ne diffèrent que par ce côté.

1) Géométrie. Un tour de filet fait avancer de $p$ en parcourant $2 π r_{m}$ sur le rayon moyen : développé, le filet est la droite de pente $tan α = \frac{p}{2 π r _{m}} = \frac{4}{2 π \times 9} = 0, 0707$ , soit $α = 4, 0 5^{\circ}$ . Le coefficient apparent vaut $f^{'} = 0, 15/ cos 1 5^{\circ} = 0, 155$ , d'où $φ^{'} = 8, 8 3^{\circ}$ .

2) Montée. On isole l'écrou développé (la charge) : poids apparent $F_{a}$ vertical, force horizontale $H$ , action du filet $R$ . À la montée, la charge glisse vers le haut de la pente : $R$ est inclinée de $φ^{'}$ par rapport à la normale au filet, vers le bas de la pente ; la normale faisant elle-même l'angle $α$ avec la verticale, $R$ fait l'angle $α + φ^{'}$ avec la verticale. Trois forces en équilibre, dont deux de directions connues : $H = F_{a} tan (α + φ^{'})$ . Le couple dans le filet est $C_{v} = F_{a} r_{m} tan (α + φ^{'}) = 15000 \times 0, 009 \times tan 12, 8 7^{\circ} = 30, 9 N \cdot m .$ Dans la butée plane, l'effort tangentiel $f F_{a}$ agit au rayon $r_{b}$ : $C_{b} = 0, 15 \times 15000 \times 0, 012 = 27, 0 N \cdot m$ . Total $57, 9 N \cdot m$ , soit à la manivelle $57, 9/0, 30 = 193 N \leq 250 N$ : conforme, marge $23 %$ . La butée coûte presque autant que le filet : son rayon est plus grand.

3) Descente. À la descente, la charge glisse vers le bas de la pente : $R$ bascule de l'autre côté de la normale et fait l'angle $φ^{'} - α$ avec la verticale ; il faut alors exercer $H = F_{a} tan (φ^{'} - α)$ dans le sens de la descente, soit un couple $C_{v, d} = F_{a} r_{m} tan (φ^{'} - α) = 135 \times tan 4, 7 8^{\circ} = 11, 3 N \cdot m > 0.$ Il faut pousser pour descendre : la charge seule ne fait pas tourner la vis. La condition, tirée de cette expression, est $α \leq φ^{'}$ : une vis est irréversible si son angle d'hélice est inférieur à l'angle de frottement. Ici $4, 0 5^{\circ} < 8, 8 3^{\circ}$ : conforme, sans même compter la butée (avec elle, $38, 3 N \cdot m$ , soit $128 N$ à la manivelle pour descendre).

4) Sans frottement. $C_{0} = F_{a} r_{m} tan α = \frac{F _{a} p}{2 π} = 9, 55 N \cdot m$ : c'est l'équivalence des travaux (la charge monte de $p$ par tour). Le couple réel du filet seul est $3, 2$ fois plus grand ( $9, 55/30, 9 = 0, 31$ ), et avec la butée six fois ( $0, 17$ ). Le frottement, qui rend le cric irréversible, coûte donc les deux tiers de l'effort : on retrouvera ce rapport, en deuxième année, sous le nom de rendement. Irréversibilité et facilité de manœuvre sont contradictoires : une vis irréversible frotte nécessairement beaucoup.

5) Cas limite. Filet sur-graissé : $f^{'} = 0, 0518$ , $φ^{'} = 2, 9 6^{\circ} < α = 4, 0 5^{\circ}$ : la vis seule devient réversible ( $C_{v, d} = 135 \times tan (- 1, 0 8^{\circ}) = - 2, 55 N \cdot m$ : la charge entraîne la vis). L'ensemble tient encore, parce que la butée oppose $27, 0 N \cdot m$ : total $+ 24, 4 N \cdot m$ . Avec une butée à billes ( $C_{b} = 0, 005 \times 15000 \times 0, 012 = 0, 9 N \cdot m$ ), le total devient $- 1, 65 N \cdot m$ : la voiture redescend seule. La sécurité d'un cric repose sur le frottement : on ne remplace pas une butée lisse par une butée à billes, et l'on choisit une vis dont l'angle d'hélice reste sous l'angle de frottement le plus bas prévisible.

Ce que l'exercice installe. La vis comme plan incliné développé ; le cône de frottement qui bascule d'un côté à l'autre de la normale selon le sens du mouvement ; la condition d'irréversibilité $α \leq φ$ , qui ne dépend pas de la charge. Un frottement « parasite » (la butée) peut porter la sécurité : il faut le compter dans les deux sens.

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