Frein à bande d'un treuil : le sens de rotation change tout

La stratégie. Le couple de freinage se lit sur la différence des tensions des deux brins ; leur rapport est donné par la relation de la bande ; l'opérateur fixe une des deux tensions par le levier. Tout tient donc à savoir lequel des deux brins est attaché au levier, ce qui dépend du sens de rotation.

1) Le levier. On isole le levier : actions du pivot $O_L$ (moment nul autour de son axe), du brin fixé sur l'axe (moment nul en $O_L$), du brin attaché à la distance $a$ (tension $T_{\ell }$, perpendiculaire au levier), de l'opérateur ($F$ à la distance $\ell$). Moments en $O_L$ : $$T_{\ell }a=F\ell ⟹T_{\ell }=\frac{\ell }{a}F=\frac{0,80}{0,060}\times 200=2667\mathrm{N}.$$ Le levier multiplie l'effort de l'opérateur par $13,3$.

2) Le couple de freinage. On isole la bande : elle est soumise aux tensions de ses deux brins, portées par les tangentes au tambour, et à l'action répartie du tambour. Le moment en l'axe $O$ du tambour des deux tensions vaut $(T_{\text{tendu}}-T_{\text{mou}})R$ (chacune a pour bras de levier $R$, et elles tournent en sens contraires) ; l'équilibre de la bande impose que l'action du tambour sur la bande ait un moment opposé. Par le principe des actions réciproques, la bande exerce sur le tambour un couple de moment $(T_{\text{tendu}}-T_{\text{mou}})R$, opposé à la rotation : c'est le couple de freinage.

3) Sens 1, brin du levier mou. $e^{f\beta }=e^{0,35\times 4,363}=e^{1,527}=4,605$. Brin mou $T_{\text{mou}}=2667\mathrm{N}$, brin tendu $T_{\text{tendu}}=4,605\times 2667=12280\mathrm{N}$ (il est fixé sur l'axe du levier et ne coûte rien à l'opérateur) : $$C_f=(12280-2667)\times 0,25=2403\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}\ge 2250\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}.$$ Conforme ; l'effort strictement nécessaire est $F=\frac{2250}{(e^{f\beta }-1)R}\cdot \frac{a}{\ell }=187\mathrm{N}$.

4) Sens 2, brin du levier tendu. Le levier fixe maintenant le brin tendu : $T_{\text{tendu}}=2667\mathrm{N}$, $T_{\text{mou}}=2667/4,605=579\mathrm{N}$, et $$C_f=(2667-579)\times 0,25=522\mathrm{N}\cdot \mathrm{m},$$ quatre fois et demie moins ; pour atteindre $2250\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ il faudrait $F=862\mathrm{N}$ : non conforme. Le rapport des deux couples est exactement $e^{f\beta }$. Dans le sens 1, le frottement tire la bande vers son ancrage et la serre sur le tambour : c'est l'auto-serrage. Pour un treuil, la charge tend toujours à faire tourner le tambour dans le sens de la descente : on monte le frein de façon que ce sens soit le sens 1. Le sens de montage est une exigence de conception, à écrire sur le plan.

5) Garniture souillée. Avec $f=0,25$, $e^{f\beta }=2,977$ et, dans le bon sens, $C_f=2667\times 1,977\times 0,25=1318\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$, inférieur au couple de la charge lui-même ($1500\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$) : non conforme, le frein ne tient même plus la charge. Il faudrait $341\mathrm{N}$ à l'opérateur. Le coefficient de frottement est dans l'exposant : une baisse de $30\%$ de $f$ divise le couple par $1,8$. D'où les consignes : protéger la garniture des projections d'huile, prévoir un coefficient de sécurité qui couvre la dispersion de $f$, et contrôler le couple de freinage à chaque visite.

Ce que l'exercice installe. Le frottement sur une surface enroulée produit un rapport exponentiel entre les tensions : un faible coefficient donne un grand effet, mais aussi une grande sensibilité. Le sens du glissement décide de quel côté est le brin tendu : la même géométrie freine quatre fois et demie plus dans un sens que dans l'autre. On isole le levier pour l'effort de l'opérateur, la bande pour le couple : deux isolements, deux inconnues.