sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 7 · Exercice de TD

Pont roulant d'atelier : quel galet porte le plus ?

Statique et Actions Mécaniques · A. Modélisation des actions mécaniques par torseurs statiques · niveau 1 (application)

Énoncé

Un pont roulant d'atelier se compose d'une poutre double de portée $L = 20 m$ (masse $12 t$ , répartie uniformément) qui roule sur deux voies de roulement $A$ et $B$ par deux sommiers d'extrémité, chacun muni de deux galets ; un chariot porte-palan de $3 t$ roule sur la poutre et lève une charge nominale de $10 t$ . On note $x$ la distance du chariot à la voie $A$ ; l'approche minimale du chariot est $1, 2 m$ de chaque voie. Exigences : la charge par galet ne dépasse pas $100 kN$ en service ; l'épreuve statique de réception se fait à $1, 25$ fois la charge nominale.

1) Quelles conditions justifient un modèle plan dans le plan vertical de la poutre ? Comment modéliser chaque sommier, et pourquoi suppose-t-on que ses deux galets se partagent également l'effort ?

2) Isoler l'ensemble {poutre, chariot, charge} et appliquer le principe fondamental de la statique : exprimer les réactions verticales $R_{A} (x)$ et $R_{B} (x)$ des voies.

3) Calculer la charge par galet dans les positions extrêmes et au milieu. Quel est le cas dimensionnant ? Conclure sur l'exigence.

4) Par le principe des actions réciproques, quel effort le constructeur des voies de roulement doit-il prendre en compte ?

5) Cas limite : l'épreuve statique à $1, 25$ fois la charge nominale. Peut-on la faire au point d'approche minimale ? Où la faire ?

Corrigé

La stratégie. Un solide, deux appuis, des charges verticales : le moment en un appui donne directement la réaction de l'autre. L'intérêt est ailleurs : écrire les réactions en fonction de la position du chariot et chercher le cas qui dimensionne.

1) Modèle plan. Le pont est symétrique par rapport au plan vertical qui contient l'axe de la poutre (deux poutres jumelles, chariot centré entre elles), et les charges (poids, charge levée) sont verticales et symétriques : toutes les actions se ramènent à ce plan. Chaque sommier est modélisé par un appui ponctuel vertical (contact galet-rail ; les efforts horizontaux, nuls ici, seraient repris par les boudins des galets). Un sommier à deux galets appuyé sur un rail est hyperstatique : la répartition entre ses deux galets dépend de la planéité du rail et des tolérances ; l'hypothèse « moitié-moitié » est celle du constructeur pour un rail sans défaut, et elle se justifie par la symétrie du sommier par rapport à l'axe de la poutre.

2) Réactions. On isole {poutre, chariot, charge}. Actions extérieures : poids de la poutre $P_{p} = 12000 \times 9, 81 = 117720 N$ à $L /2$ ; poids du chariot et de la charge $P_{c} = (3000 + 10000) \times 9, 81 = 127530 N$ à l'abscisse $x$ ; réactions $R_{A}$ , $R_{B}$ verticales. Moments en $B$ (autour de l'axe perpendiculaire au plan), puis résultante : $R_{A} (x) = \frac{P _{p} \frac{L}{2} + P _{c} ( L - x )}{L}, R_{B} (x) = P_{p} + P_{c} - R_{A} (x) = \frac{P _{p} \frac{L}{2} + P _{c} x}{L} .$ Les réactions varient linéairement avec la position du chariot ; leur somme est constante, $245, 25 kN$ .

3) Charge par galet. Au point d'approche minimale côté $A$ ( $x = 1, 2 m$ ) : $R_{A} = \frac{117 720 \times 10 + 127 530 \times 18 , 8}{20} = 178738 N, soit \frac{R _{A}}{2} = 89, 4 kN par galet .$ Chariot au milieu : $R_{A} = R_{B} = 122, 6 kN$ , soit $61, 3 kN$ par galet. Le cas dimensionnant est l'approche minimale, pas le milieu : le galet le plus chargé est celui du côté où se trouve le chariot, et il porte presque toute la charge levée. $89, 4 \leq 100 kN$ : conforme, avec une marge de $10, 6 %$ de la charge admissible.

4) Actions réciproques. L'action d'un galet sur son rail est l'opposée de l'action du rail sur le galet : chaque voie reçoit, sous le galet le plus chargé, une force verticale descendante de $89, 4 kN$ , et c'est elle qui dimensionne le rail, ses éclisses et les consoles du bâtiment. À cela le constructeur des voies ajoute les effets dynamiques (accélérations, levage), qui sortent de la statique.

5) Épreuve. Avec $12, 5 t$ levées, $P_{c} = 15500 \times 9, 81 = 152055 N$ ; à l'approche minimale, $R_{A} = 201792 N$ , soit $100, 9 kN$ par galet : au-delà des $100 kN$ admis en service, de $0, 9 %$ . Au milieu de la portée, la même épreuve donne $67, 4 kN$ par galet. L'épreuve statique se fait donc chariot au milieu (c'est d'ailleurs là que la poutre fléchit le plus, ce que l'épreuve veut vérifier) ; l'épreuve en bout de portée demanderait des galets prévus pour elle.

Ce que l'exercice installe. Écrire les inconnues de liaison en fonction du paramètre de position, puis chercher le cas dimensionnant au lieu de le supposer. Le modèle plan repose sur une symétrie que l'on énonce ; la répartition entre deux appuis surabondants est une hypothèse, pas un résultat. Le principe des actions réciproques transmet la conclusion au solide voisin.

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