sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 7 · Application directe du cours
Problème — Grue à tour : le contrepoids qui égalise les deux cas extrêmes
Statique et Actions Mécaniques · niveau 2
Énoncé
La flèche d'une grue à tour a une portée ; la charge maximale en bout de flèche est . La contre-flèche, de longueur , porte un contrepoids . On néglige les masses propres de la flèche et de la contre-flèche ().
- Déterminer pour que le moment à la base du mât soit nul, charge maximale à mi-portée ().
- Calculer le moment à la base du mât, charge en bout de flèche, puis à vide. Commenter.
- Montrer que cette valeur de est celle qui rend le plus petit possible le plus grand des deux moments extrêmes.
Corrigé
On isole la partie supérieure de la grue (flèche, contre-flèche, contrepoids, charge) et l'on écrit les moments en un point de l'axe du mât, à sa base : l'action du mât sur cette partie a pour moment , que le mât doit reprendre.
1. Charge à : , d'où .
2. Charge en bout de flèche :
À vide : . Les deux moments extrêmes sont égaux et opposés. Sans contrepoids, le moment en charge serait : le contrepoids divise par deux le moment que le mât et son ancrage doivent reprendre, à condition de reprendre le même moment, en sens inverse, à vide.
3. Le plus grand des deux moments est ; la première quantité décroît avec , la seconde croît : leur maximum est le plus petit quand elles sont égales, , soit . Équilibrer « à mi-portée » revient exactement à ce choix optimal. Avec les masses propres de la flèche et de la contre-flèche, le même raisonnement reste valable, en ajoutant leurs moments aux deux cas.