Problème : pince de levage à serrage automatique, elle tient quelle que soit la charge, ou jamais

La stratégie. La charge pend aux patins par adhérence ; c'est elle qui, par les biellettes et les bras, produit le serrage. Toutes les forces étant proportionnelles à $W$, l'adhérence nécessaire rapportée à l'effort normal sera un nombre purement géométrique : c'est ce qu'il faut établir, par des isolements successifs (bloc, anneau, bras).

1) Modèle. La pince et le bloc sont symétriques par rapport au plan vertical de la figure, et les charges (poids, levage) sont dans ce plan : modèle plan, trois équations par solide. Graphe : bâti (crochet) – anneau (contact) ; anneau – biellette 1 et biellette 2 (pivots en $R$) ; biellette 1 – bras 1 (pivot en $A_1$), biellette 2 – bras 2 (pivot en $A_2$) ; bras 1 – bras 2 (pivot en $O$) ; bras 1 – bloc et bras 2 – bloc (contacts avec frottement en $J_1$, $J_2$). Chaque biellette, de poids négligé, est un solide soumis à deux glisseurs (ses deux pivots parfaits) : l'effort qu'elle transmet est porté par la droite $A_{i}R$, et c'est une traction. On isole le bloc : poids $-W\overrightarrow{y}$ ; en $J_1$ et $J_2$, des actions normales horizontales et des actions tangentielles verticales. La résultante horizontale égalise les deux normales ($N$), la symétrie partage la charge : chaque patin porte $W/2$, vers le haut sur le bloc. Par actions réciproques, le bloc exerce sur le bras 1, en $J_1$, la force $(-N,-W/2)$ : il repousse le patin vers l'extérieur et l'entraîne vers le bas.

2) L'anneau. Trois forces : le crochet $W\overrightarrow{y}$, et les deux biellettes, de tension $F$, dirigées de $R$ vers $A_1$ et vers $A_2$. Avec $\ell =\sqrt{a^2+(H-h{)}^2}=\sqrt{0,35^2+0,25^2}=0,430\mathrm{m}$, chaque biellette fait avec la verticale un angle de cosinus $(H-h)/\ell$, et la résultante verticale donne $$2F\frac{H-h}{\ell }=W⟹F=\frac{W\ell }{2(H-h)}=0,860W.$$ Pour $W=1000\mathrm{N}$, $F=860\mathrm{N}$.

3) Le bras 1. Actions extérieures : en $J_1=(-b,-c)$, la force $(-N,-W/2)$ ; en $A_1=(a,h)$, la biellette tire vers $R$ : ${\overrightarrow{F}}_A=F\frac{(-a,H-h)}{\ell }$ ; en $O$, le bras 2 (deux inconnues). Moments en $O$ autour de $\overrightarrow{z}$, $M=x{F}_y-y{F}_x$ : $$\text{en }{J}_1:(-b)\left(-\frac{W}{2}\right)-(-c)(-N)=\frac{bW}{2}-cN;$$ $$\text{en }{A}_1:aF\frac{H-h}{\ell }+hF\frac{a}{\ell }=\frac{FaH}{\ell }=\frac{WaH}{2(H-h)}.$$ La somme est nulle : $$cN=\frac{W}{2}\left(b+\frac{aH}{H-h}\right)⟹\frac{N}{W}=\frac{1}{2c}\left(b+\frac{aH}{H-h}\right).$$ Avec $aH/(H-h)=0,35\times 0,45/0,25=0,63\mathrm{m}$ et $b=0,05\mathrm{m}$ : $N/W=0,68/0,40=1,70$. Pour $W=1000\mathrm{N}$, $N=1700\mathrm{N}$ : chaque patin serre presque deux fois le poids du bloc. La résultante appliquée au bras donne l'action de l'articulation $O$ : ${\overrightarrow{F}}_O=-\left[(-N,-W/2)+{\overrightarrow{F}}_A\right]=(2400;0)\mathrm{N}$, horizontale. Vérification : la droite d'action de l'effort du patin (par $J_1$, direction $(-1700,-500)$) et celle de la biellette (par $A_1$, direction $(-0,814;0,581)$) se coupent au point $(0,63;0)$, sur l'horizontale de $O$ : les trois forces sont bien concourantes.

4) La condition d'adhérence. Le bloc ne glisse pas tant que l'action de chaque patin reste dans le cône d'adhérence : $\frac{W}{2}\le f_{0}N$. En remplaçant $N$ : $$\frac{W}{2}\le f_0\frac{W}{2c}\left(b+\frac{aH}{H-h}\right)⟺f_0\ge f_{\min }=\frac{c}{b+\frac{aH}{H-h}}.$$ $W$ s'est simplifié : la condition ne fait intervenir que des longueurs. Lecture sur le cône : l'action du patin sur le bloc fait avec la normale un angle de tangente $\frac{W/2}{N}=f_{\min }$, le même pour tout bloc de largeur donnée ; si cet angle est dans le cône ($\arctan f_{\min }\le {\phi }_0$), il y reste quelle que soit la charge, et la pince tient tout ; sinon, elle ne tient rien, si léger soit le bloc.

5) Application. $f_{\min }=0,20/(b+0,63)$ : $0,294$ pour $b=0,05\mathrm{m}$, $0,274$ pour $0,10$, $0,256$ pour $0,15\mathrm{m}$. Le bloc le plus étroit dimensionne (le patin y est le plus près de l'axe, le bras de levier de la réaction normale est le plus court). L'exigence demande $f_0\ge 2f_{\min }=0,59$ : à sec, $f_0=0,6$, conforme de justesse (sécurité $2,04$) ; mouillé, $f_0=0,35$ donne une sécurité de $1,19$ : la pince tient, mais sans la marge exigée : non conforme. Décision possible : interdire la pose sous la pluie, ou remplacer le caoutchouc par des patins à griffes, qui ne reposent plus sur l'adhérence seule.

6) Conception et cas limites. Le bras supérieur fait tout : $f_{\min }(b=0,05)$ vaut $0,625$ pour $a=0,15\mathrm{m}$ (la pince lâche même à sec), $0,400$ pour $a=0,25\mathrm{m}$, $0,294$ pour $0,35\mathrm{m}$, $0,233$ pour $0,45\mathrm{m}$ ; pour atteindre $f_{\min }=0,30$ il faut $a\ge 0,343\mathrm{m}$. Allonger les bras augmente le serrage, mais aussi l'effort dans l'articulation et l'encombrement. Quand $W\to 0$, le serrage tend vers zéro : au moment de la prise, rien ne plaque les patins sur le bloc, et la pince pourrait déraper avant que le levage ne la serre. D'où le ressort de pré-serrage des pinces réelles, qui assure le premier contact. Ordre de grandeur pour le bloc de $150\mathrm{kg}$ ($W=1472\mathrm{N}$) : $N=2500\mathrm{N}$ par patin, et $3530\mathrm{N}$ dans l'articulation $O$.

Le résultat obtenu — condition d'auto-serrage (arc-boutement) d'une pince de levage. Quand l'effort de serrage est produit par la charge elle-même, toutes les actions sont proportionnelles à la charge, et la condition d'adhérence $f_0\ge f_{\min }$ ne fait intervenir que la géométrie : $f_{\min }=\frac{c}{b+aH/(H-h)}$ pour la pince étudiée. Si elle est satisfaite, la pince tient toute charge ; sinon, elle n'en tient aucune. C'est la forme « serrage » de l'arc-boutement : la résultante de contact a une direction fixée par la géométrie, et elle reste dans le cône d'adhérence quel que soit l'effort.

Ce que le problème installe. Les isolements successifs dans l'ordre où les inconnues deviennent connues (bloc, anneau, bras), le théorème des deux forces pour les biellettes, la vérification par la concourance des trois forces, et l'usage des lois de Coulomb pour dimensionner une géométrie plutôt qu'un effort. Un coefficient de sécurité sur l'adhérence se juge sur le cas le plus défavorable (bloc étroit, surface mouillée) ; la conclusion peut être une règle d'exploitation autant qu'une modification de la pièce.