Solide soumis à trois forces non parallèles

On suppose ${\overrightarrow{F}}_1$ et ${\overrightarrow{F}}_2$ non parallèles. Le principe fondamental donne la résultante ${\overrightarrow{F}}_3=-({\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2)$ et, en $A$ (où le moment de ${\overrightarrow{F}}_1$ est nul),

$$\overrightarrow{AB}\wedge {\overrightarrow{F}}_2+\overrightarrow{AC}\wedge {\overrightarrow{F}}_3=\overrightarrow{0}.(\ast )$$

Coplanarité. Le produit scalaire de $(\ast )$ par ${\overrightarrow{F}}_3$ donne $(\overrightarrow{AB}\wedge {\overrightarrow{F}}_2)\cdot {\overrightarrow{F}}_3=0$, et, en remplaçant ${\overrightarrow{F}}_3$, $(\overrightarrow{AB}\wedge {\overrightarrow{F}}_2)\cdot {\overrightarrow{F}}_1=0$ : les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, ${\overrightarrow{F}}_1$, ${\overrightarrow{F}}_2$ sont coplanaires, donc ${\mathcal{D}}_1$ et ${\mathcal{D}}_2$ sont dans un même plan $\Pi$. Le produit scalaire de $(\ast )$ par ${\overrightarrow{F}}_2$ donne de même $(\overrightarrow{AC}\wedge {\overrightarrow{F}}_3)\cdot {\overrightarrow{F}}_2=0$, soit $(\overrightarrow{AC}\wedge {\overrightarrow{F}}_1)\cdot {\overrightarrow{F}}_2=0$ : $C$ est dans $\Pi$ ; et ${\overrightarrow{F}}_3=-({\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2)$ a sa direction dans $\Pi$. Les trois droites d'action sont dans $\Pi$.

Concourance. ${\mathcal{D}}_1$ et ${\mathcal{D}}_2$, coplanaires et non parallèles, se coupent en un point $I$. En $I$, les moments de ${\overrightarrow{F}}_1$ et ${\overrightarrow{F}}_2$ sont nuls ; il reste $\overrightarrow{IC}\wedge {\overrightarrow{F}}_3=\overrightarrow{0}$, donc $I\in {\mathcal{D}}_3$.

Conclusion : les trois droites d'action sont dans un même plan et passent par un même point. Si les trois forces sont parallèles, le résultat ne s'applique pas : on écrit alors deux équations de moments.