sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 7 · Exercice de TD

Table élévatrice à ciseaux : l'effort du vérin ne dépend pas de la place de la charge

Statique et Actions Mécaniques · A. Modélisation des actions mécaniques par torseurs statiques · niveau 2

Énoncé

Une table élévatrice soulève une charge de $800 kg$ (plateau compris). Elle comporte deux paires de bras identiques, de part et d'autre du plan de symétrie ; on les regroupe en un seul modèle plan qui porte toute la charge. Chaque bras mesure $2 L = 2, 0 m$ ; les deux bras sont articulés en leur milieu $C$ . Le bras 1 va du pied fixe $A$ (pivot sur le bâti) au point $D$ , qui roule sous le plateau (galet, contact sans frottement) ; le bras 2 va du pied roulant $B$ (galet sur le bâti, sans frottement) au point $E$ , pivot sous le plateau. Un vérin horizontal, dont le corps est articulé sur le bâti au-delà de $B$ , pousse le pied $B$ vers $A$ . On note $α$ l'angle des bras avec l'horizontale ( $8^{\circ} \leq α \leq 4 5^{\circ}$ ), $x_{P}$ l'abscisse du centre d'inertie de la charge mesurée depuis la verticale de $E$ , et $P = m g$ . Poids des bras négligés. Exigence : le vérin, de diamètre $63 mm$ , est alimenté sous $160 bar$ au plus ; il doit lever la charge depuis la position basse.

1) Isoler le plateau et en déduire, par le principe fondamental, les actions des bras en $E$ et en $D$ en fonction de $P$ , $x_{P}$ , $L$ et $α$ .

2) Isoler l'ensemble {plateau, bras 1, bras 2}. Faire le bilan des actions extérieures et en déduire l'action verticale $N_{B}$ du bâti sur le galet $B$ , en choisissant le point des moments qui élimine le plus d'inconnues.

3) Isoler le bras 2 et écrire les moments en $C$ . Établir que $F_{v} = \frac{P}{tan α}$ , quelle que soit la position $x_{P}$ de la charge sur le plateau.

4) Calculer l'effort du vérin à $8^{\circ}$ et à $4 5^{\circ}$ , et l'effort que peut développer le vérin. Conclure ; proposer deux remèdes chiffrés.

5) Calculer l'effort dans l'articulation centrale $C$ à $8^{\circ}$ , charge au milieu puis à une extrémité du plateau. Cas limite : que se passe-t-il quand $α \to 0$ ?

Corrigé

La stratégie. Le mécanisme compte trois solides et un vérin ; le principe fondamental appliqué à chacun donne beaucoup d'équations, mais on n'a besoin que d'une inconnue, $F_{v}$ . On isole successivement les systèmes qui la font apparaître avec le moins d'inconnues parasites, et l'on écrit les moments là où passent les inconnues dont on ne veut pas.

1) Le plateau. Paramétrage : $A = (0, 0)$ , $C = (L cos α, L sin α)$ , $D = (2 L cos α, 2 L sin α)$ , $B = (2 L cos α, 0)$ , $E = (0, 2 L sin α)$ . Actions sur le plateau : la charge $- P y$ à l'abscisse $x_{P}$ (depuis $E$ ) ; le galet $D$ , sans frottement, donne une force normale verticale $Y_{D} y$ ; le pivot $E$ donne $X_{E} x + Y_{E} y$ . La résultante horizontale donne $X_{E} = 0$ ; les moments en $E$ donnent $Y_{D} 2 L cos α - P x_{P} = 0$ , d'où $Y_{D} = \frac{P x _{P}}{2 L cos α}, Y_{E} = P - Y_{D} .$ Par actions réciproques, le plateau appuie sur le bras 1 en $D$ avec $- Y_{D} y$ et sur le bras 2 en $E$ avec $- Y_{E} y$ .

2) L'ensemble des trois solides. Le vérin n'en fait pas partie : son corps est articulé sur le bâti, et sa tige pousse le pied $B$ . Actions extérieures : charge $- P y$ ; pivot $A$ ( $X_{A}$ , $Y_{A}$ ) ; galet $B$ , sans frottement, $N_{B} y$ ; vérin, solide soumis à deux forces, donc force selon son axe horizontal : $- F_{v} x$ en $B$ . Les moments en $A$ éliminent $X_{A}$ , $Y_{A}$ et la force du vérin, dont la droite d'action passe par $A$ : $N_{B} 2 L cos α - P x_{P} = 0 ⟹ N_{B} = \frac{P x _{P}}{2 L cos α} .$ La résultante horizontale donne $X_{A} = F_{v}$ : le bâti retient le pied $A$ autant que le vérin pousse $B$ .

3) Le bras 2. Actions extérieures au bras 2 : en $B$ , $- F_{v} x + N_{B} y$ ; en $E$ , $- Y_{E} y$ ; en $C$ , l'action du bras 1 (deux inconnues). Moments en $C$ : $C B = (L cos α, - L sin α)$ et $C E = (- L cos α, L sin α)$ donnent, autour de $z$ , $en B L cos α N_{B} - L sin α F_{v} + en E L cos α Y_{E} = 0 ⟹ F_{v} = \frac{N _{B} + Y _{E}}{tan α} .$ Or $N_{B} + Y_{E} = \frac{P x _{P}}{2 L cos α} + P - \frac{P x _{P}}{2 L cos α} = P$ : la position de la charge disparaît, et $F_{v} = \frac{P}{tan α} .$ Ce résultat se vérifie en résolvant le système complet des équations des trois solides : on trouve la même valeur pour une charge en $E$ , au milieu, ou en $D$ .

4) Dimensionnement. $P = 800 \times 9, 81 = 7848 N$ . À $8^{\circ}$ , $F_{v} = 7 848/ tan 8^{\circ} = 55841 N = 55, 8 kN$ ; à $4 5^{\circ}$ , $F_{v} = 7, 85 kN$ , sept fois moins. Le vérin développe $p S = 160 \cdot 1 0^{5} \times \frac{π \times 0 , 06 3 ^{2}}{4} = 49876 N = 49, 9 kN,$ non conforme en position basse : il manque $12 %$ . Remèdes : relever la position basse jusqu'à $α_{m i n} = arctan (7 848/49 876) = 8, 9^{\circ}$ (on part de $9^{\circ}$ : $49, 6 kN$ ), ou passer au diamètre $70 mm$ : $61, 6 kN$ , marge $10 %$ à $8^{\circ}$ .

5) L'articulation centrale. La résultante appliquée au bras 2 donne l'action du bras 1 en $C$ : composante horizontale $F_{v}$ , composante verticale $Y_{E} - N_{B} = P (1 - \frac{x _{P}}{L cos α})$ . Charge au milieu ( $x_{P} = L cos α$ ) : $∥ C ∥ = F_{v} = 55, 8 kN$ ; charge à une extrémité ( $x_{P} = 0$ ou $2 L cos α$ ) : $F_{v}^{2} + P^{2} = 56, 4 kN$ . L'axe central travaille surtout à cause du vérin, presque pas à cause de la charge. Cas limite : quand $α \to 0$ , $F_{v} \to + \infty$ ; une table à ciseaux ne peut pas partir à plat, d'où la butée mécanique de position basse, et le soin qu'exige son réglage.

Ce que l'exercice installe. Les isolements successifs : un système par inconnue cherchée, des moments écrits au point qui élimine le plus d'inconnues, les actions réciproques pour passer d'un solide à l'autre, le théorème des deux forces pour connaître d'emblée la direction d'un vérin ou d'une biellette. Un résultat simple ( $F_{v} = P / tan α$ ) peut cacher une propriété forte (l'indépendance vis-à-vis de la position de la charge) : la statique la démontre, l'intuition ne la devine pas.

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