sciences industrielles (MPSI) · Chapitre 7 · Exercice de TD

Vanne-clapet de rivière : de la pression de l'eau à l'effort des vérins

Statique et Actions Mécaniques · A. Modélisation des actions mécaniques par torseurs statiques · niveau 2

Énoncé

Un clapet de régulation de rivière est un panneau plan rectangulaire de largeur $b = 4, 0 m$ et de hauteur $h = 3, 0 m$ , articulé en pied sur le seuil par une liaison pivot d'axe $(O, y)$ horizontal, et maintenu vertical par deux vérins identiques, horizontaux, fixés en tête du clapet ( $z = h$ ) et ancrés sur une pile du côté aval. Le repère $(O, x, y, z)$ a $x$ horizontal vers l'aval et $z$ vertical ascendant. En service normal, l'eau amont affleure la crête ( $z = h$ ) ; l'aval est à sec. Le clapet a une masse de $2, 5 t$ ; en position verticale son centre d'inertie est à l'aplomb de l'articulation. On prend $ρ = 1000 kg m^{- 3}$ ; la pression atmosphérique s'exerce sur les deux faces. Exigences : les deux vérins, de $40 kN$ chacun, doivent tenir l'eau au ras de la crête avec une marge d'au moins $25 %$ ; on veut savoir jusqu'à quelle surverse (hauteur d'eau au-dessus de la crête) le clapet reste tenu.

1) Écrire le modèle local : la pression relative $p (z)$ sur la face amont, puis la force élémentaire $d F$ sur une bande de hauteur $d z$ . Pourquoi la pression atmosphérique n'intervient-elle pas ?

2) Passer au modèle global : calculer la résultante $F$ de l'action de l'eau et son moment en $O$ . Montrer que ce torseur est un glisseur et trouver la hauteur $z_{C}$ de sa droite d'action.

3) Isoler le clapet ; faire le bilan des actions extérieures et appliquer le principe fondamental de la statique. En déduire l'effort total des vérins et l'action de l'articulation sur le clapet. Conclure sur la marge.

4) Cas limite : une crue fait passer une lame d'eau de hauteur $s$ au-dessus de la crête (on admet la répartition hydrostatique). Pour $s = 0, 5 m$ , calculer la résultante, sa hauteur et l'effort des vérins.

5) Quelle est la surverse maximale tenue par les vérins ? Commenter : défaut de dimensionnement, ou fonction voulue ?

Corrigé

La stratégie. On part de la répartition de la pression (modèle local), on l'intègre pour obtenir le torseur global, on repère la droite où son moment s'annule, puis on isole le clapet et on écrit les moments au point où se trouve l'inconnue qu'on ne cherche pas : l'articulation $O$ .

1) Modèle local. La pression hydrostatique croît linéairement avec la profondeur : à la cote $z$ , la profondeur est $h - z$ , et la pression relative vaut $p (z) = ρ g (h - z)$ , nulle à la crête, maximale au pied, $p (0) = 1000 \times 9, 81 \times 3, 0 = 29430 Pa$ . Sur une bande de largeur $b$ et de hauteur $d z$ , la force élémentaire est normale à la paroi et dirigée vers l'aval : $d F = p (z) b d z x$ . La pression atmosphérique s'exerce sur la face amont (à travers l'eau) et sur la face aval : ses deux contributions sont égales et opposées, et le torseur qu'elle produit est nul. On ne garde que la pression relative.

2) Modèle global. On somme les forces élémentaires : $F = \int_{0}^{h} ρ g (h - z) b d z = ρ g b \frac{h ^{2}}{2} = 1000 \times 9, 81 \times 4, 0 \times \frac{9}{2} = 176580 N \approx 176, 6 kN .$ Le moment en $O$ de la force élémentaire appliquée au point $(0, y, z)$ vaut $z z \land d F x = z d F y$ (l'étalement en $y$ se compense par symétrie). D'où $M_{O} = \int_{0}^{h} z ρ g (h - z) b d z = ρ g b \frac{h ^{3}}{6} = 176580 N \cdot m,$ porté par $y$ . Le moment en un point $C$ de l'axe $(O, z)$ est $M_{C} = M_{O} + C O \land F = (M_{O} - z_{C} F) y$ : il s'annule pour $z_{C} = \frac{M _{O}}{F} = \frac{h}{3} = 1, 0 m$ . Le torseur est un glisseur ; sa droite d'action est horizontale, à $1, 0 m$ du seuil, au centre de gravité du triangle des pressions.

3) Équilibre du clapet. On isole le clapet. Actions extérieures : l'eau (glisseur $F x$ en $z_{C} = 1, 0 m$ ), les deux vérins (forces horizontales en tête, de résultante $- F_{v} x$ , chaque vérin étant un solide soumis à deux forces, donc poussant selon son axe), le poids $- m g z$ (dont la droite d'action passe par $O$ ), et l'articulation (pivot d'axe $(O, y)$ : résultante $X_{O} x + Z_{O} z$ dans le plan, moment nul autour de $y$ ). Les moments en $O$ éliminent l'articulation et le poids : $F z_{C} - F_{v} h = 0 ⟹ F_{v} = \frac{F h /3}{h} = \frac{F}{3} = 58860 N,$ soit $29, 4 kN$ par vérin. La résultante donne $X_{O} = F_{v} - F = - 117, 7 kN$ (l'articulation retient le pied vers l'amont) et $Z_{O} = m g = 2500 \times 9, 81 = 24, 5 kN$ . Les vérins disposent de $80 kN$ : marge $\frac{80 - 58 , 86}{58 , 86} = 36 % \geq 25 %$ , conforme. On note que l'articulation porte deux fois plus que les vérins : la force de l'eau est plus près du pied que de la tête.

4) Crue. Avec une lame $s$ au-dessus de la crête, la pression sur le clapet devient $p (z) = ρ g (h + s - z)$ , une répartition trapézoïdale. Les mêmes intégrales donnent $F = ρ g b (h s + \frac{h ^{2}}{2}) = 39240 \times (1, 5 + 4, 5) = 235440 N,$ $M_{O} = ρ g b (\frac{s h ^{2}}{2} + \frac{h ^{3}}{6}) = 39240 \times (2, 25 + 4, 5) = 264870 N \cdot m,$ d'où $z_{C} = 264 870/235 440 = 1, 125 m$ (la droite d'action remonte) et $F_{v} = M_{O} / h = 88, 3 kN$ , au-delà des $80 kN$ disponibles : non tenu.

5) Surverse maximale. L'égalité $ρ g b (s h^{2} /2 + h^{3} /6) = 80000 \times h$ donne $s = \frac{240 000/39 240 - 4 , 5}{4 , 5} = 0, 36 m .$ Au-delà, la pression d'huile des vérins atteint sa limite et le clapet s'abaisse. Sur une vraie rivière, c'est souvent voulu : un clapet qui s'efface en crue évite d'inonder l'amont, et la limitation de pression du circuit joue le rôle d'un fusible. Le cahier des charges doit donc dire laquelle des deux lectures est la bonne : tenir jusqu'à $0, 36 m$ est conforme si la consigne est « s'effacer au-delà de $0, 3 m$ », non conforme si elle est « tenir une crue de $0, 5 m$ ».

Ce que l'exercice installe. Le passage du modèle local au modèle global : on écrit la densité d'effort, on intègre pour la résultante et pour le moment, et le quotient des deux donne la droite d'action du glisseur. Ensuite seulement on isole, en écrivant les moments au point de l'inconnue qu'on ne cherche pas. Un même calcul se relit avec une autre répartition (trapèze) : le cas limite se traite sans méthode nouvelle.

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