Matrice de passage d'une rotation plane

La figure de calcul donne ${\overrightarrow{x}}_1=\cos \theta {\overrightarrow{x}}_0+\sin \theta {\overrightarrow{y}}_0$ et ${\overrightarrow{y}}_1=-\sin \theta {\overrightarrow{x}}_0+\cos \theta {\overrightarrow{y}}_0$ ; les colonnes de $P$ sont les composantes de ${\overrightarrow{x}}_1,{\overrightarrow{y}}_1,{\overrightarrow{z}}_1$ dans ${\mathcal{B}}_0$ :

$$P=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

Ses colonnes sont unitaires et deux à deux orthogonales, donc $P^{\mathsf{T}}P=I_3$ ; $\det P={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ : $P$ est orthogonale directe (une rotation), et $P^{-1}=P^{\mathsf{T}}$, qui est la matrice de la rotation d'angle $-\theta$. Si un vecteur a pour composantes $X_1$ dans ${\mathcal{B}}_1$, ses composantes dans ${\mathcal{B}}_0$ sont $X_0=P{X}_1$.