Problème — Robot chirurgical : un centre de rotation sans articulation

1. $Q$ et $P$ sont deux points du solide 2, qui est en translation : $\overrightarrow{QP}$ garde même longueur (solide indéformable) et même direction (orientation fixe). C'est un vecteur constant $\overrightarrow{c}$.

2. Notons $R_{\theta }$ la rotation d'angle $\theta$. Un point $M_1$ de la manivelle vérifie $\overrightarrow{A{M}_1}=R_{\theta }\overrightarrow{A{M}_1^0}$. Le porte-instrument 3 a la même orientation que la manivelle ($\overrightarrow{\Omega }(3/0)=\overrightarrow{\Omega }(1/0)=\dot{\theta }\overrightarrow{z}$) et passe par $P=Q+\overrightarrow{c}$, avec $Q$ point de la manivelle. Tout point $M_3$ de 3 s'écrit donc $M_3=Q+\overrightarrow{c}+R_{\theta }\overrightarrow{u}$, avec $\overrightarrow{u}$ fixe dans la base initiale, soit

$$\overrightarrow{O{M}_3}=\overrightarrow{AQ}+R_{\theta }\overrightarrow{u}=R_{\theta }\left(\overrightarrow{A{Q}^0}+\overrightarrow{u}\right),O=A+\overrightarrow{c}.$$

Le point $O$ est fixe et $\overrightarrow{O{M}_3}$ tourne de $\theta$ : 3 est en rotation autour de $O$. En particulier, si l'axe de l'instrument passe par $O$ dans une position, il y passe dans toutes. Le centre de rotation est déporté : c'est l'image du pivot $A$ par la translation $\overrightarrow{c}$, sans aucune pièce en $O$. Chaque parallélogramme plan à quatre pivots est, en complément pour la PTSI, hyperstatique d'ordre 3 dans l'espace : il exige des axes de pivots parallèles, donc un usinage précis ; il ne supprime pas le jeu des articulations.