Rotule et linéaire annulaire en parallèle

Approche cinématique. En parallèle, le mouvement de 2 par rapport à 1 doit être autorisé par les deux liaisons. La rotule impose $\overrightarrow{V}(A\in 2/1)=\overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{\Omega }={\omega }_x\overrightarrow{x}+{\omega }_y\overrightarrow{y}+{\omega }_z\overrightarrow{z}$ quelconque. Par la formule de Varignon, $\overrightarrow{V}(B)=\overrightarrow{V}(A)+\overrightarrow{\Omega }\wedge \overrightarrow{AB}=L{\omega }_z\overrightarrow{y}-L{\omega }_y\overrightarrow{z}$. La linéaire annulaire impose $\overrightarrow{V}(B)\cdot \overrightarrow{y}=\overrightarrow{V}(B)\cdot \overrightarrow{z}=0$ : ${\omega }_y={\omega }_z=0$. Seule reste la rotation ${\omega }_x$ : la liaison équivalente est une pivot d'axe $(A,\overrightarrow{x})$.

Approche statique. En parallèle, les actions s'additionnent. Au point $A$ : la rotule transmet $(X_A\overrightarrow{x}+Y_A\overrightarrow{y}+Z_A\overrightarrow{z};\overrightarrow{0})$ ; la linéaire annulaire transmet en $B$ la résultante $Y_B\overrightarrow{y}+Z_B\overrightarrow{z}$ et un moment nul, soit en $A$ le moment $\overrightarrow{AB}\wedge (Y_B\overrightarrow{y}+Z_B\overrightarrow{z})=L(Y_B\overrightarrow{z}-Z_B\overrightarrow{y})$. La somme a une résultante quelconque et un moment sans composante sur $\overrightarrow{x}$ : c'est le torseur transmissible d'une pivot d'axe $(A,\overrightarrow{x})$, avec cinq inconnues pour cinq composantes : le montage est isostatique. C'est le modèle d'un arbre guidé par deux roulements à billes, l'un arrêté axialement (rotule), l'autre libre (linéaire annulaire).