sciences industrielles (PT) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Grue à tour : combien de blocs de lest sur la contre-flèche ?

Géométrie des Masses et Tenseur d'Inertie · A. Solide indéformable, masse et centre d'inertie · niveau 2

Énoncé

Une grue à tour à flèche horizontale se compose d'une partie fixe (le mât, $30 t$ , et le lest de base, $60 t$ , tous deux centrés sur l'axe du mât, posés sur des appuis formant un carré de $6 m$ de côté) et d'une partie tournante, montée sur la couronne d'orientation au sommet du mât. On repère les positions par l'abscisse $x$ le long de la flèche, comptée depuis l'axe du mât, positive du côté de la flèche. La partie tournante comprend :

élément	masse	abscisse du centre d'inertie
flèche	$11 t$	$+ 24 m$
contre-flèche et treuil	$5 t$	$- 7 m$
pivot et cabine	$3 t$	$0$
chariot et crochet	$0, 6 t$	de $+ 3 m$ (rentré) à $+ 50 m$
lest de contre-flèche	blocs de $2, 5 t$	$- 13 m$

La courbe de charge autorise $8 t$ jusqu'à $15 m$ , puis un moment de charge constant : $Q r = 120 t \cdot m$ , soit $2, 4 t$ en bout de flèche ( $50 m$ ). Exigence du constructeur : la couronne d'orientation est dimensionnée pour que le centre d'inertie de la partie tournante, charge comprise, reste à moins de $2, 0 m$ de l'axe du mât dans tous les cas d'exploitation.

1) Quelles hypothèses permettent de traiter chaque élément comme un solide indéformable de masse et de centre d'inertie connus ? Établir que l'abscisse du centre d'inertie de la partie tournante est $x_{G} = \frac{\sum m _{i} x _{i}}{\sum m _{i}}$ . Calculer le moment statique $\sum m_{i} x_{i}$ de la partie tournante sans lest dans trois cas : à vide, chariot rentré ; $8 t$ à $15 m$ ; $2, 4 t$ en bout. Montrer qu'au-delà de $15 m$ ce moment croît avec la portée.

2) On note $M_{L}$ la masse du lest. Traduire l'exigence par deux inégalités linéaires en $M_{L}$ , pour les deux cas extrêmes ; en déduire l'intervalle admissible et le nombre de blocs. Pourquoi le cas « $8 t$ à $15 m$ », celui de la charge la plus lourde, ne dimensionne-t-il pas ? Que donne le réflexe « arrondir par excès, pour être sûr » ?

3) Pour le nombre de blocs retenu, calculer $x_{G}$ dans les trois cas et la marge.

4) On admet (statique) que la grue entière ne bascule pas tant que la verticale de son centre d'inertie reste à l'intérieur du carré d'appui. Calculer l'abscisse du centre d'inertie de la grue entière dans les deux cas extrêmes. Cas limite (montage) : le lest de contre-flèche est posé avant la flèche ; où est alors le centre d'inertie de la grue, flèche, chariot et charge absents ? Commenter la règle des notices de montage : deux blocs seulement avant la flèche, le reste après.

Corrigé

La stratégie. Le centre d'inertie d'un ensemble est le barycentre des centres d'inertie de ses parties, pondérés par leurs masses (associativité du barycentre). On écrit le moment statique de la partie tournante en fonction de la position du chariot et de la masse du lest, on traduit l'exigence en deux inégalités linéaires, et l'on vérifie tous les cas extrêmes, pas seulement celui de la plus lourde charge.

1) Moment statique sans lest. Les éléments sont des solides indéformables si l'on néglige la flexion de la flèche, le balancement de la charge (grue immobile) et la masse des câbles devant celle de la charge. Par définition, $m O G = ∭ O P d m$ ; en découpant l'intégrale sur les éléments et en appliquant la définition à chacun, $∭_{S_{i}} O P d m = m_{i} O G_{i}$ , donc $(\sum m_{i}) O G = \sum m_{i} O G_{i}$ ; en projection sur $x$ , $x_{G} = \sum m_{i} x_{i} / \sum m_{i}$ . Sans lest, la partie fixe de la partie tournante (flèche, contre-flèche, pivot) donne $11 \times 24 + 5 \times (- 7) + 3 \times 0 = 229 t \cdot m$ , pour $19 t$ . Puis :

à vide, chariot rentré : $229 + 0, 6 \times 3 = 230, 8 t \cdot m$ , pour $19, 6 t$ ;
$8 t$ à $15 m$ : $229 + (0, 6 + 8) \times 15 = 358, 0 t \cdot m$ , pour $27, 6 t$ ;
$2, 4 t$ à $50 m$ : $229 + (0, 6 + 2, 4) \times 50 = 379, 0 t \cdot m$ , pour $22, 0 t$ .

Au-delà de $15 m$ , la charge apporte un moment constant, $Q r = 120 t \cdot m$ , mais le chariot, lui, apporte $0, 6 r$ , qui croît : le moment statique vaut $349 + 0, 6 r$ , maximal en bout de flèche.

2) Le lest. Avec $M_{L}$ à $- 13 m$ , l'exigence $∣ x_{G} ∣ \leq 2, 0 m$ s'écrit dans les deux cas extrêmes : $en bout : \frac{379 , 0 - 13 M _{L}}{22 , 0 + M _{L}} \leq 2, 0 ⟺ 379, 0 - 13 M_{L} \leq 44, 0 + 2 M_{L},$ $soit M_{L} \geq \frac{335}{15} = 22, 3 t;$ $a ˋ vide : \frac{230 , 8 - 13 M _{L}}{19 , 6 + M _{L}} \geq - 2, 0 ⟺ 230, 8 + 39, 2 \geq 11 M_{L} ⟺ M_{L} \leq \frac{270}{11} = 24, 5 t .$ (Les dénominateurs sont positifs, ce qui autorise à multiplier sans changer le sens.) L'intervalle admissible est $[22, 3; 24, 5] t$ : avec des blocs de $2, 5 t$ , seuls 9 blocs conviennent ( $22, 5 t$ ). Le cas « $8 t$ à $15 m$ » impose $358 - 13 M_{L} \leq 2 (27, 6 + M_{L})$ , soit $M_{L} \geq 20, 2 t$ : moins exigeant, parce que ce qui compte est le moment de la charge, pas sa masse, et qu'une charge lourde près du mât ajoute surtout de la masse au dénominateur. Le réflexe « arrondir par excès » (dix blocs, $25 t$ ) sort de l'intervalle par le haut : à vide, $x_{G} = \frac{230 , 8 - 325}{44 , 6} = - 2, 11 m$ , non conforme. Un lest trop lourd est aussi dangereux qu'un lest trop léger, simplement dans l'autre cas de charge.

3) Vérification. Avec $M_{L} = 22, 5 t$ (moment $- 292, 5 t \cdot m$ ) :

à vide : $x_{G} = \frac{230 , 8 - 292 , 5}{42 , 1} = - 1, 47 m$ ;
$8 t$ à $15 m$ : $x_{G} = \frac{358 , 0 - 292 , 5}{50 , 1} = + 1, 31 m$ ;
$2, 4 t$ en bout : $x_{G} = \frac{379 , 0 - 292 , 5}{44 , 5} = + 1, 94 m$ .

Entre $15$ et $50 m$ , $x_{G}$ croît continûment de $1, 31$ à $1, 94 m$ (il vaut $1, 62 m$ à $30 m$ ). Conforme, avec une marge de $0, 06 m$ (3 %) en bout de flèche.

4) Stabilité de la grue entière. On ajoute la partie fixe, $90 t$ sur l'axe, qui n'apporte que de la masse : en bout de flèche, $x_{G} = \frac{86 , 5}{134 , 5} = + 0, 64 m$ ; à vide, $x_{G} = \frac{- 61 , 7}{132 , 1} = - 0, 47 m$ . Le demi-côté du carré d'appui est $3 m$ : la grue en service est très loin du basculement. Cas limite, le montage. Lest posé, flèche absente, la partie tournante n'est plus que la contre-flèche et le pivot : moment $5 \times (- 7) + 22, 5 \times (- 13) = - 327, 5 t \cdot m$ , masse de la grue $5 + 3 + 22, 5 + 90 = 120, 5 t$ , d'où $x_{G} = - 2, 72 m$ : à $0, 28 m$ du bord du carré, sans vent ni choc. Une rafale suffit. Avec deux blocs seulement, $x_{G} = \frac{- 35 - 65}{103} = - 0, 97 m$ : c'est la raison de la règle de montage.

Ce que l'exercice installe. Le centre d'inertie d'un ensemble se compose par les moments statiques $\sum m_{i} x_{i}$ (associativité du barycentre), sans aucune intégrale. Une exigence sur $x_{G}$ dans plusieurs cas de charge se traduit en inégalités linéaires sur la grandeur à dimensionner ; on vérifie tous les cas extrêmes, et le cas dimensionnant n'est pas forcément « la plus lourde charge ». Les configurations transitoires (montage) se vérifient aussi.

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