Problème — Pendule trifilaire : mesurer l'inertie d'un rotor et recaler la maquette numérique

1) Choix du protocole. Le pendule pesant demande une suspension à la distance $d\ne 0$ de $G$, et rend le moment autour d'un axe horizontal, qu'il faut ensuite ramener en $G$ par Huygens. Ici l'axe visé est l'axe de révolution du rotor, qui passe par $G$ : suspendu par cet axe, le rotor n'oscillerait pas ($d=0$), et suspendu ailleurs il donnerait le moment autour d'un diamètre, pas autour de son axe. Le trifilaire mesure directement autour d'un axe vertical passant par le centre du plateau ; le rotor posé centré, axe vertical, a son axe confondu avec lui. Le plateau compte aussi : on mesure le plateau seul, puis le plateau chargé, et, les deux solides tournant autour du même axe, leurs moments s'ajoutent : $J=J_{\text{chargeˊ}}-J_{\text{vide}}$.

2) Choix de la mesure. Une période dure environ $1,57\mathrm{s}$ ; une erreur de $0,1\mathrm{s}$ en est $6,4\%$, et comme $J\propto T^2$, $u(J)/J=2u(T)/T=12,8\%$ : six fois l'exigence. En chronométrant vingt périodes, l'erreur de déclenchement porte sur $31\mathrm{s}$ au lieu de $1,6\mathrm{s}$ : $0,64\%$ sur $J$ pour une seule série. En répétant cinq séries, la dispersion se mesure au lieu de s'estimer, et la moyenne est plus sûre que chaque série. Une barrière optique ferait mieux encore, mais n'est pas nécessaire.

3) Traitement. Avec $n=5$ séries, écart-type $s$ et incertitude-type de la moyenne $u=s/\sqrt{5}$ :

L'écart-type, $0,04$ à $0,06\mathrm{s}$, confirme l'ordre de grandeur de l'erreur de déclenchement. On inverse la donnée : $J=\frac{Mg{r}^2}{4{\pi }^2\ell }{T}^2$. Plateau vide, $M=2,00\mathrm{kg}$, $T=1,8645\mathrm{s}$ : $J_{\text{vide}}=9,318\cdot 10^{-3}\times 1,8645^2=0,03239\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$. Le formulaire donne $\frac{1}{2}{m}_0{R}_0^2=0,0324\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ : le banc est validé (cotes, formule, chronométrage) avant même de poser le rotor. Plateau chargé, $M=6,50\mathrm{kg}$, $T=1,5678\mathrm{s}$ : $J_{\text{chargeˊ}}=0,030285\times 1,5678^2=0,07444\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$. D'où le rotor :

$$J=0,07444-0,03239=0,04205\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2.$$

4) Incertitude. Chronométrage : $u(J)/J=2u/\bar{t}$ vaut $0,135\%$ à vide ($4,4\cdot 10^{-5}\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$) et $0,122\%$ chargé ($9,1\cdot 10^{-5}$) ; les deux séries sont indépendantes, les incertitudes absolues de la différence se composent en somme quadratique : $u=1,01\cdot 10^{-4}\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$, soit $0,24\%$ de $J$. Cotes : $J$ est proportionnel à $r^2/\ell$, facteur commun aux deux mesures, qui multiplie donc aussi leur différence : $2\times \frac{0,5}{150}=0,67\%$ pour $r$, $\frac{2}{1200}=0,17\%$ pour $\ell$. Les masses, au gramme près, comptent pour $0,02\%$ : négligeables. Au total,

$$\frac{u(J)}{J}=\sqrt{0,24^2+0,67^2+0,17^2}\%=0,73\%,\text{eˊlargie : }2\times 0,73=1,5\%<2\%.$$

Conforme, avec une marge de $0,5$ point. Le poste dominant n'est pas le chronomètre mais la cote $r$, qui compte au carré : c'est elle qu'il faudrait mesurer mieux pour gagner en précision, pas le nombre de séries.

5) Erreurs de méthode. Un rotor décentré de $e$ tourne autour d'un axe qui ne passe plus par $G$ : le banc mesure $J+m{e}^2$ (Huygens), une erreur toujours par excès, que la répétition ne révèle pas. Pour qu'elle reste sous $1\%$ : $e\le \sqrt{0,01J/m}=\sqrt{0,01\times 0,04205/4,50}=9,7\mathrm{mm}$ ; centré à $5\mathrm{mm}$ près, l'erreur est de $0,27\%$. Un centreur sur le plateau suffit donc. La formule de période n'est valable qu'aux petites amplitudes : on lance le plateau de quelques degrés seulement, sans le faire balancer, et l'on garde la même amplitude pour les deux mesures.

6) Écart à la maquette numérique. $\frac{0,04205-0,0405}{0,0405}=+3,8\%$, plus de deux fois l'incertitude élargie : l'écart est significatif, et la maquette telle quelle ne tient pas l'exigence de $\pm 2\%$. La cause se lit sur la masse : la maquette annonce $4,33\mathrm{kg}$ pour $4,50\mathrm{kg}$ pesés, soit $3,8\%$ de moins, presque exactement l'écart sur $J$. Une masse volumique par défaut (tôles feuilletées, aimants, bobinage) ou une pièce omise en est l'explication habituelle. Si la masse volumique est seule en cause, toutes les masses sont dans le même rapport, et le moment aussi : $J_{\text{recaleˊ}}=0,0405\times \frac{4,50}{4,33}=0,04209\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$, à $-0,1\%$ de la mesure, bien dans l'incertitude. La maquette recalée peut servir au modèle de l'asservissement.

Le résultat obtenu — mesure d'un moment d'inertie au pendule trifilaire. Le trifilaire mesure le moment d'inertie autour d'un axe vertical passant par le centre du plateau, par $J=\frac{Mg{r}^2}{4{\pi }^2\ell }{T}^2$ ; le moment d'une pièce s'obtient par différence entre plateau chargé et plateau vide, les moments au même axe s'ajoutant. On chronomètre $N$ périodes et $n$ séries, on prend la moyenne, et $u(J)/J=2u(T)/T$, avec $u=s/\sqrt{n}$ ; les incertitudes relatives indépendantes se composent en somme quadratique. Le décentrement $e$ ajoute $m{e}^2$. Pour le rotor : $J=0,04205\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ à $\pm 1,5\%$, conforme ; la maquette, à $+3,8\%$, est recalée sur la masse pesée.

Ce que le problème installe. Un protocole se choisit sur l'axe visé ; une mesure se valide d'abord sur un étalon (le plateau vide contre le formulaire) ; le poste dominant d'un bilan d'incertitude n'est pas forcément celui qu'on soigne ; un écart entre mesure et modèle ne se juge qu'à l'incertitude élargie, et sa cause se cherche sur une grandeur plus simple (ici, la masse).