sciences industrielles (PT) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Volant de groupe électrogène : mettre la masse où elle sert

Géométrie des Masses et Tenseur d'Inertie · E. Solides usuels, changement de base et axes principaux · niveau 2

Énoncé

Le volant d'un groupe électrogène, en fonte ( $ρ = 7200 kg m^{- 3}$ ), doit régulariser la vitesse du moteur. Exigence : moment d'inertie autour de son axe $J \geq 0, 120 kg \cdot m^{2}$ , masse au plus $10 kg$ , diamètre au plus $300 mm$ , largeur axiale au plus $50 mm$ . Quatre architectures, toutes de rayon extérieur $R = 150 mm$ :

(a) un disque plein ;
(b) un moyeu (tube de rayons $15$ et $35 mm$ , largeur $50 mm$ ), un voile (disque de $35$ à $125 mm$ , épaisseur $10 mm$ ) et une jante (tube de rayons $R_{1} = 125$ et $R = 150 mm$ , largeur $w$ à déterminer) ;
(c) la solution (b) dont le voile est percé de six trous d'allègement de diamètre $40 mm$ , centrés à $80 mm$ de l'axe ;
(d) le moyeu et la jante de (b), reliés par six bras droits de section rectangulaire $30 mm$ (axialement) $\times 15 mm$ , allant de $35$ à $125 mm$ de l'axe.

On utilisera, pour un tube de rayons $r_{1} < r_{2}$ et de masse $m$ , $J = \frac{1}{2} m (r_{1}^{2} + r_{2}^{2})$ autour de son axe, et, pour un parallélépipède, le formulaire du cours.

1) Montrer que le disque plein ne peut pas satisfaire l'exigence.

2) Solution (b) : calculer les moments d'inertie du moyeu et du voile, puis la largeur $w$ de jante qui donne exactement $J = 0, 120 kg \cdot m^{2}$ , et la masse du volant. Part de la jante dans la masse et dans l'inertie.

3) Solution (c) : traiter chaque trou comme une masse négative. Ce qu'on perd en masse et en inertie ; nouvelle largeur de jante et nouvelle masse.

4) Solution (d) : moment d'inertie d'un bras autour de l'axe du volant ; nouvelle largeur de jante et masse. Le cours propose, pour un bras « articulé en $O$ » de longueur $R$ , $J = \frac{1}{3} M_{2} R^{2}$ : quelle erreur commet-on en l'appliquant à ces bras ?

5) Les solutions (c) et (d) ne sont plus de révolution. Leur matrice d'inertie en $G$ a-t-elle encore la forme de celle d'un solide de révolution ? Et avec deux trous seulement ? Enfin, quelle erreur commet-on en modélisant la jante de (b) par un anneau mince de rayon moyen ?

Corrigé

La stratégie. Le moment d'inertie autour de l'axe est la somme de ceux des parties ; chaque partie se lit dans le formulaire, au besoin transportée par Huygens (bras, trous) ; un trou est une pièce de masse négative. On ajuste ensuite la seule dimension libre, $w$ , pour tenir l'exigence d'inertie, et l'on compare les masses.

1) Disque plein. $J = \frac{1}{2} m R^{2} \geq 0, 120$ impose $m \geq \frac{2 \times 0 , 120}{0 , 1 5 ^{2}} = 10, 67 kg$ (épaisseur $21 mm$ ) : non conforme à la limite de $10 kg$ .

2) Jante, voile, moyeu. Masse d'un tube : $ρ π (r_{2}^{2} - r_{1}^{2}) w$ . Moyeu : $m = 7200 π (0, 03 5^{2} - 0, 01 5^{2}) \times 0, 05 = 1, 13 kg$ , $J = \frac{1}{2} \times 1, 13 \times (0, 01 5^{2} + 0, 03 5^{2}) = 8, 2 \cdot 1 0^{- 4}$ . Voile : $m = 7200 π (0, 12 5^{2} - 0, 03 5^{2}) \times 0, 01 = 3, 26 kg$ , $J = 2, 74 \cdot 1 0^{- 2} kg \cdot m^{2}$ . La jante doit fournir $0, 120 - 0, 0282 = 0, 0917 kg \cdot m^{2}$ . Pour une jante de largeur $w$ : $J_{j} = \frac{1}{2} ρ π (R^{4} - R_{1}^{4}) w = 2, 965 w$ (avec $w$ en mètres), d'où $w = 30, 9 mm$ et $m_{j} = 4, 81 kg$ . Masse totale $9, 20 kg$ : conforme. La jante porte 52 % de la masse et 76 % de l'inertie.

3) Six trous. Un trou de rayon $r = 20 mm$ dans le voile retire un cylindre de masse $ρ π r^{2} \times 0, 01 = 0, 0905 kg$ , dont l'axe est à $d = 80 mm$ de celui du volant : par Huygens, $J_{trou} = \frac{1}{2} m r^{2} + m d^{2} = 0, 0905 \times (0, 0002 + 0, 0064) = 5, 97 \cdot 1 0^{- 4}$ . Six trous : $- 0, 543 kg$ et $- 3, 58 \cdot 1 0^{- 3} kg \cdot m^{2}$ , soit $- 5, 9 %$ de masse pour $- 3, 0 %$ d'inertie : on retire de la masse là où elle sert peu. Il faut regagner l'inertie perdue en élargissant la jante : $w = 32, 2 mm$ , masse $8, 85 kg$ .

4) Six bras. Un bras est un parallélépipède de longueur radiale $L_{b} = 90 mm$ , de section $30 \times 15 mm$ : $m_{b} = 7200 \times 0, 03 \times 0, 015 \times 0, 09 = 0, 292 kg$ . Autour de l'axe parallèle à celui du volant passant par son centre (à $r_{c} = 80 mm$ ), le formulaire donne $\frac{m _{b}}{12} (L_{b}^{2} + t^{2})$ avec $t = 15 mm$ ; Huygens ajoute $m_{b} r_{c}^{2}$ : $J_{b} = \frac{0 , 292}{12} (0, 0 9^{2} + 0, 01 5^{2}) + 0, 292 \times 0, 0 8^{2} = 2, 03 \cdot 1 0^{- 4} + 1, 87 \cdot 1 0^{- 3} = 2, 07 \cdot 1 0^{- 3} kg \cdot m^{2} .$ Six bras : $1, 75 kg$ et $1, 24 \cdot 1 0^{- 2} kg \cdot m^{2}$ . Jante : $w = 36, 0 mm$ ; masse totale $8, 48 kg$ , la plus légère, avec le voile supprimé. La formule $\frac{1}{3} M_{2} R^{2}$ suppose un bras qui part de l'axe : appliquée avec $R = 125 mm$ , elle donne $1, 52 \cdot 1 0^{- 3}$ , soit $- 27 %$ ; appliquée avec la longueur réelle $L_{b}$ , $7, 9 \cdot 1 0^{- 4}$ , soit $- 62 %$ .

Les quatre volants ont la même inertie, $0, 120 kg \cdot m^{2}$ ; la ligne rouge marque la masse maximale, $10 kg$ .

5) Symétries et validité. Six trous ou six bras régulièrement répartis donnent à l'axe du volant une symétrie d'ordre 6 : comme pour le rotor tripale, $A = B$ et les produits sont nuls ; la matrice en $G$ garde la forme « de révolution ». Avec deux trous diamétralement opposés, l'axe n'est plus que d'ordre 2 : les produits $D$ et $E$ restent nuls, mais $A \neq = B$ (les trous, placés sur $x$ , retirent $2 m d^{2} = 1, 2 \cdot 1 0^{- 3}$ au moment autour de $y$ et presque rien autour de $x$ ). Un seul trou déplacerait $G$ hors de l'axe : balourd. Enfin, la jante en anneau mince de rayon moyen $137, 5 mm$ donne $m_{j} R_{m}^{2} = 0, 0910$ au lieu de $0, 0917$ : $- 0, 8 %$ , le rapport $\frac{( R - R _{1} ) ^{2}}{4 R _{m}^{2}}$ des épaisseurs au rayon ; le modèle est excellent ici, parce que la jante est mince.

Ce que l'exercice installe. On compose une inertie par pièces du formulaire, chacune transportée par Huygens si elle n'est pas centrée sur l'axe ; un perçage est une masse négative ; on dimensionne par la seule cote libre. L'inertie se gagne à la périphérie ; une formule du formulaire ne s'applique que dans ses hypothèses, et l'on chiffre son domaine de validité (anneau mince, bras issu de l'axe).

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