Avance de phase à pulsation de coupure imposée

Sans correcteur. ${\omega }_c\sqrt{1+0,01{\omega }_c^2}=4$ donne ${\omega }_c=3,75\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, et $M_{\phi }=90^{\circ }-\arctan (0,375)=69,5^{\circ }$ : la boucle est stable et bien amortie, mais quatre fois trop lente.

Phase à apporter. La rapidité impose la coupure : on centre la cellule sur ${\omega }_m={\omega }_c=15\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$. La phase de $H$ y vaut $-90^{\circ }-\arctan (1,5)=-146,3^{\circ }$ : il manque ${\phi }_{\max }=45^{\circ }-33,7^{\circ }=11,3^{\circ }$. Pas de réserve $\Delta \phi$ ici : la coupure ne se déplace pas après coup, puisqu'on la fixe par $K_c$.

Cellule. $a=\frac{1+\sin 11,3^{\circ }}{1-\sin 11,3^{\circ }}=1,49$ ; $T=\frac{1}{{\omega }_m\sqrt{a}}=\frac{1}{15\times 1,220}=54,7\mathrm{ms}$ ; $aT=81,3\mathrm{ms}$.

Gain. Pour que $15\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ soit la coupure : $K_c\sqrt{a}|H(\mathrm{j}15)|=1$, avec $|H(\mathrm{j}15)|=\frac{4}{15\sqrt{1+2,25}}=0,148$, d'où $K_c=\frac{1}{1,220\times 0,148}=5,54$. Vérification : $M_{\phi }=180^{\circ }-146,3^{\circ }+11,3^{\circ }=45,0^{\circ }$. En prime, $K_v=4K_c=22,2{\mathrm{s}}^{-1}$ : l'écart de traînage est divisé par $5,5$.

Sans le gain $K_c$ (c'est-à-dire avec $K_c=1$), la cellule seule laisserait la coupure vers $3,8\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ : c'est l'oubli classique de cette variante de la méthode.