Choisir le codeur et la période d'échantillonnage d'une antenne de poursuite

• Codeur. Un codeur absolu monotour de $n$ bits découpe le tour en $2^n$ pas : $q=\frac{360^{\circ }}{2^n}$. Il faut $q\le 0,005^{\circ }$, soit $2^n\ge \frac{360}{0,005}=72000$ et $n\ge {\log }_{2}72000=16,1$. Avec $16$ bits, $q=0,0055^{\circ }$ : refusé ; avec $\boxed{n=17}$ bits, $q=0,0027^{\circ }$, qui tient sa part. Un codeur monotour suffit : l'élévation reste entre $0$ et $90^{\circ }$, dans un seul tour, et le codeur absolu donne la position dès la mise sous tension, sans prise d'origine. La résolution ne garantit pas la justesse : l'erreur maximale annoncée par la documentation du codeur et de son montage doit trouver sa place dans le reste du bilan.
• Vitesse angulaire. $\Omega =\frac{v}{h}=\frac{7,6}{500}=0,0152\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}=0,87^{\circ }{\mathrm{s}}^{-1}$.

Borne par la marge. $T_e\le \frac{0,05}{{\omega }_c}=\frac{0,05}{1,64}=30,6\mathrm{ms}$ (perte de marge $1,4^{\circ }$).

Borne par la poursuite. La consigne bloquée est en marches d'escalier, en retard moyen de $T_e/2$ sur la trajectoire. La boucle, de classe 2, suit une rampe sans écart de traînage et filtre les marches (sa coupure, $1,64\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, est très inférieure à $2\pi /T_e$) : elle suit la trajectoire retardée de $T_e/2$, d'où une erreur de poursuite $\Omega T_e/2$. Il faut

$$\Omega \frac{T_e}{2}\le 0,005^{\circ }⟺T_e\le \frac{2\times 0,005}{0,871}=11,5\mathrm{ms}.$$

C'est la poursuite qui dimensionne, pas la stabilité : sa borne est $2,7$ fois plus sévère. Avec $T_e=10\mathrm{ms}$ : erreur de blocage $0,871\times 0,005=0,0044^{\circ }$, et marge perdue $\frac{{\omega }_c{T}_e}{2}=0,0082\mathrm{rad}=0,47^{\circ }$ ($M_{\phi }\approx 44,5^{\circ }$, la boucle reste bien amortie). Les erreurs simulées ($0,0022^{\circ }$ ; $0,0044^{\circ }$ ; $0,0088^{\circ }$) sont proportionnelles à $T_e$ et égales à $\Omega T_e/2$ ($0,0022^{\circ }$ ; $0,0044^{\circ }$ ; $0,0087^{\circ }$) : le modèle du retard moyen $T_e/2$ est validé.

• Carte de commande. Une position de $17$ bits ne tient pas dans un mot de $16$ bits : il faut des mots de $32$ bits ($4$ octets), ce que fait l'enregistrement. Mémoire. Un passage compte $\frac{12\times 60}{0,010}=72000$ périodes ; à chacune, quatre grandeurs (consigne et mesure des deux axes) de $4$ octets, soit $16$ octets :

$$72000\times 16=1152000\text{octets}\approx 1,15\mathrm{Mo}.$$

C'est la mémoire de données minimale (hors programme et éphémérides), ou la taille d'un fichier écrit au fil du passage.

• Débit. À chaque période transitent deux positions de $17$ bits (codeurs) et deux consignes de $16$ bits (variateurs) : $2\times 17+2\times 16=66$ bits. Débit utile : $\frac{66}{0,010}=6600\mathrm{bit}{\mathrm{s}}^{-1}=6,6\mathrm{kbit}{\mathrm{s}}^{-1}$, soit $6\%$ des $115,2\mathrm{kbit}{\mathrm{s}}^{-1}$ de la liaison : même en triplant le nombre de bits pour le protocole (bits de début et de fin, adresses, contrôle), la liaison suffit, et elle laisse de la place pour une période plus courte.
• Bilan (somme majorante : l'erreur en accélération culmine à $\phi =30^{\circ }$, celle de blocage au zénith).

L'écart de $0,018^{\circ }$ reste disponible pour le vent, les déformations de la structure et la justesse du codeur.

Conclusion. Codeur absolu de $17$ bits, $T_e=10\mathrm{ms}$, mots de $32$ bits, $1,15\mathrm{Mo}$ par passage, $6,6\mathrm{kbit}{\mathrm{s}}^{-1}$ sur la liaison : la chaîne tient l'exigence de $0,05^{\circ }$. La période n'est pas fixée par la stabilité ($30\mathrm{ms}$ suffiraient) mais par la poursuite : pour une consigne qui bouge, le blocage coûte $\Omega T_e/2$ d'erreur avant de coûter de la marge.