Complément (hors programme) — le pompage lu comme une marge

Systèmes asservis : correction · niveau 2

Énoncé

Un procédé bouclé par un correcteur proportionnel entre en pompage pour le gain critique $K_{cr} = 8, 5$ , avec une période d'oscillation $T_{cr} = 1, 2 s$ .

Que valent la marge de gain et la pulsation $ω_{180}$ de la boucle réglée à $K_{p} = 1$ ?
La table de Ziegler-Nichols (fournie) donne, pour un PID : $K_{p} = 0, 6 K_{cr}$ , $T_{i} = T_{cr} /2$ , $T_{d} = T_{cr} /8$ ; pour un correcteur proportionnel seul : $K_{p} = 0, 5 K_{cr}$ . Calculer les réglages, et la marge de gain du réglage proportionnel.
Que vise cette table ?

Corrigé

Au pompage, la boucle est à la limite de stabilité : $∣ K_{cr} H (j ω)∣ = 1$ et $ar g H (j ω) = - 18 0^{\circ}$ à la pulsation des oscillations. Donc $ω_{180} = \frac{2 π}{T _{cr}} = 5, 24 rad s^{- 1}$ et $∣ H (j ω_{180})∣ = 1/ K_{cr}$ : à $K_{p} = 1$ , $M_{G} = 20 lo g 8, 5 = 18, 6 dB$ . Le gain critique est la marge de gain de la boucle à gain unité.
PID : $K_{p} = 0, 6 \times 8, 5 = 5, 1$ , $T_{i} = 0, 6 s$ , $T_{d} = 0, 15 s$ . Proportionnel seul : $K_{p} = 4, 25$ , soit une marge de gain de $20 lo g 2 = 6 dB$ : la règle « $0, 5 K_{cr}$ » est une règle de marge de gain.
Elle vise un rapport d'amortissement de $1/4$ entre deux dépassements successifs, pas un dépassement donné : le premier dépassement est souvent de $40$ à $60 %$ . C'est un point de départ obtenu sans modèle, à affiner ensuite. Le PID et cette table sont hors programme ; l'essai de pompage, lui, sert aussi à identifier un modèle (gain et phase connus en un point).