L'antenne de poursuite de satellites : un PI réglé par la marge, pour un traînage nul

La stratégie. La consigne est une trajectoire lisse : comptent les écarts en vitesse et en accélération, fixés par la classe et les gains en basse fréquence. On règle la marge à la coupure, et l'on place le zéro du correcteur assez bas pour qu'il ne la dégrade presque pas.

1) Le passage. ${\Omega }_{\max }=\frac{v}{h}=\frac{7,6}{500}=1,52\times 10^{-2}\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}=0,87^{\circ }/\mathrm{s}$ ; ${\dot{\Omega }}_{\max }=\frac{3\sqrt{3}}{8}\times (1,52\times 10^{-2}{)}^2=1,50\times 10^{-4}\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-2}=0,0086^{\circ }/{\mathrm{s}}^2$. L'essentiel du mouvement se joue en une minute environ autour du zénith ($h/v\approx 66\mathrm{s}$).

2) Le proportionnel. Classe 1 : l'écart de traînage vaut $\Omega /K$, maximal au zénith. $\frac{0,87}{K}\le 0,05$ impose $K\ge 17,4{\mathrm{s}}^{-1}$. Coupure : ${\omega }_c\sqrt{1+0,25{\omega }_c^2}=17,4$, soit $0,25{\omega }_c^4+{\omega }_c^2-303=0$, ${\omega }_c^2=\frac{-1+\sqrt{1+303}}{0,5}=32,9$, ${\omega }_c=5,74\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ ; phase $-90^{\circ }-\arctan (2,87)=-160,8^{\circ }$, donc $M_{\phi }=19^{\circ }$ : inacceptable. Pour $M_{\phi }=45^{\circ }$, il faut $\arctan (0,5{\omega }_c)=45^{\circ }$, ${\omega }_c=2\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $K=2\sqrt{1+1}=2,83{\mathrm{s}}^{-1}$ : traînage $\frac{0,87}{2,83}=0,31^{\circ }$, six fois l'exigence, un tiers du lobe. Le proportionnel ne tient pas les deux exigences à la fois.

3) Le proportionnel intégral. La FTBO devient $$\mathrm{FTBO}(p)=\frac{K{K}_p(1+T_{i}p)}{T_i{p}^2(1+0,5p)},$$ de classe 2 : l'écart de traînage est nul. Pour une consigne ${\theta }_c(p)=a/p^3$, l'écart $\epsilon (p)=\frac{{\theta }_c(p)}{1+\mathrm{FTBO}(p)}$ a pour limite $${\epsilon }_{\infty }=\underset{p\to 0}{\lim }p\cdot \frac{a}{p^3}\cdot \frac{1}{1+\mathrm{FTBO}(p)}=\underset{p\to 0}{\lim }\frac{a}{p^2+p^2\mathrm{FTBO}(p)}=\frac{a}{K_a},K_a=\frac{K{K}_p}{T_i}.$$ Le coût de phase du correcteur. Sa phase vaut $\arctan (T_i\omega )-90^{\circ }$ : il retarde la phase de $90^{\circ }-\arctan (T_i\omega )$, et non de $90^{\circ }$. Avec $T_i{\omega }_c=10$ : $90^{\circ }-\arctan 10=5,7^{\circ }$ seulement. Réglage. La phase de la FTBO vaut $-180^{\circ }+\arctan (T_i\omega )-\arctan (0,5\omega )$ ; à ${\omega }_c$, $-180^{\circ }+84,3^{\circ }-\arctan (0,5{\omega }_c)=-135^{\circ }$ impose $\arctan (0,5{\omega }_c)=39,3^{\circ }$, donc $${\omega }_c=2\tan 39,3^{\circ }=1,64\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1},T_i=\frac{10}{{\omega }_c}=6,1\mathrm{s}.$$ Gain unité à ${\omega }_c$ : $K{K}_p=\frac{T_i{\omega }_c^2\sqrt{1+0,25{\omega }_c^2}}{\sqrt{1+T_i^2{\omega }_c^2}}=\frac{6,11\times 2,68\times 1,29}{10,05}=2,10{\mathrm{s}}^{-1}$. D'où $K_a=\frac{2,10}{6,11}=0,344{\mathrm{s}}^{-2}$ et, à l'accélération maximale, $${\epsilon }_{\max }\approx \frac{{\dot{\Omega }}_{\max }}{K_a}=\frac{0,0086}{0,344}=0,025^{\circ }\le 0,05^{\circ }.$$ L'accélération varie en une minute environ, la boucle répond en $1/{\omega }_c\approx 0,6\mathrm{s}$ : l'écart suit de façon quasi statique, ce qui justifie $a/K_a$.

4) Le vent. Proportionnel. En régime permanent, l'antenne est immobile : la vitesse est nulle, donc le couple moteur équilibre exactement le vent, $K_m{K}_p{\epsilon }_{\infty }=C_v$, soit ${\epsilon }_{\infty }=\frac{C_v}{K_m{K}_p}\ne 0$. L'intégrateur de l'axe ne sert à rien : il est en aval du point d'entrée de la perturbation ; il intègre la vitesse, et c'est le couple qu'il faut produire sans écart. Proportionnel intégral. La sortie du correcteur ne peut être constante (et égale à $C_v/K_m$) que si son entrée, l'écart, est nulle : ${\epsilon }_{\infty }=0$. C'est l'intégrateur en amont de la perturbation qui annule l'écart qu'elle provoque.

5) Bilan. Le dépassement de $28\%$ sur un échelon vient du zéro du correcteur ; il est sans objet ici : la consigne d'une poursuite est une trajectoire lisse, jamais un échelon, et le cahier des charges n'exigeait qu'une marge.

Deux remarques. Le correcteur à retard de phase (complément hors programme) poursuit la même idée avec un gain statique fini : il divise l'écart au lieu de l'annuler. Et au zénith même, l'azimut d'une monture azimut-élévation devrait tourner de $180^{\circ }$ en un instant : l'actionneur sature, limite que le modèle linéaire ne voit pas.

Ce que l'exercice installe. La méthode du zéro une décade sous la coupure : $T_i=10/{\omega }_c$, qui ne coûte que $5,7^{\circ }$ de marge (et non $90^{\circ }$), puis réglage de ${\omega }_c$ par la marge. La classe de la FTBO fixe l'écart en vitesse, $K_a$ l'écart en accélération. Et un écart dû à une perturbation n'est annulé que par un intégrateur en amont de son point d'entrée.