Le régulateur de vitesse automobile : linéariser, régler, puis saturer

La stratégie. On linéarise autour du point de fonctionnement pour régler avec les outils linéaires, puis on revient au modèle non linéaire et borné pour voir ce que la linéarisation a caché.

1) Le point de fonctionnement et la linéarisation. À $v_0=25\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ sur route plate, en régime permanent : $$F_0=\frac{1}{2}\rho S{C}_x{v}_0^2+C_{r}mg=0,42\times 625+0,012\times 1500\times 9,81=262,5+176,6=439\mathrm{N}.$$ On pose $v=v_0+\delta v$, $F=F_0+\delta F$. Au premier ordre, $\frac{1}{2}\rho S{C}_x{v}^2\approx \frac{1}{2}\rho S{C}_x{v}_0^2+\rho S{C}_x{v}_0\delta v$ (tangente à la parabole en $v_0$) ; pour une pente faible, $\sin \alpha \approx \alpha$. Les termes constants s'éliminent avec l'équilibre : $$m\frac{\mathrm{d}\delta v}{\mathrm{d}t}=\delta F-f\delta v-mg\alpha ,f=\rho S{C}_x{v}_0=1,2\times 0,7\times 25=21,0\mathrm{N}\mathrm{s}{\mathrm{m}}^{-1}.$$ En Laplace, à pente nulle : $\frac{\delta V}{\delta F}=\frac{1}{f+mp}=\frac{1/f}{1+\tau p}$ avec $\tau =\frac{m}{f}=\frac{1500}{21}=71\mathrm{s}$. C'est la lenteur d'une voiture en roue libre. Domaine de validité : à $110km/h=30,6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $f=\rho S{C}_{x}v=25,7\mathrm{N}\mathrm{s}{\mathrm{m}}^{-1}$, soit $22\%$ de plus ; la tangente sous-estime alors la traînée de $13\mathrm{N}$ sur $392\mathrm{N}$. Le modèle reste acceptable pour un écart de $20km/h$, mais ses paramètres dépendent du point de fonctionnement.

2) Le proportionnel laisse un écart. La pente de $5\%$ ($\tan \alpha =0,05$) ajoute la force $F_p=mg\sin \alpha =1500\times 9,81\times 0,0499=735\mathrm{N}$. En régime permanent, avec $\delta v_c=0$ : $0=-K_p\delta v-f\delta v-F_p$, d'où $$\delta v=-\frac{F_p}{f+K_p}=-\frac{735}{900}=-0,82\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}=-2,9km/h.$$ L'exigence n'est pas tenue, et l'écart ne s'annule jamais : pour produire la force de la côte, le proportionnel a besoin d'un écart.

3) Le proportionnel intégral, par placement des pôles. En Laplace, $\delta F=\left(K_p+\frac{K_i}{p}\right)(\delta V_c-\delta V)$ et $mp\delta V=\delta F-f\delta V-\frac{F_p}{p}$. En multipliant par $p$, l'équation caractéristique est $$m{p}^2+(f+K_p)p+K_i=0.$$ Des pôles doubles en $-{\omega }_0$ correspondent à $m(p+{\omega }_0{)}^2=m{p}^2+2m{\omega }_{0}p+m{\omega }_0^2$ ; par identification, $K_i=m{\omega }_0^2=1500\times 0,09=135\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$ et $K_p=2m{\omega }_0-f=900-21=879\mathrm{N}\mathrm{s}{\mathrm{m}}^{-1}$ (le gain de la question 2). En côte, l'écart permanent est nul : l'intégrateur est en amont du point d'entrée de la pente, et sa sortie se stabilise sur la force qui compense $F_p$. Chute maximale : $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(t{\mathrm{e}}^{-{\omega }_{0}t}\right)=(1-{\omega }_{0}t){\mathrm{e}}^{-{\omega }_{0}t}$ s'annule pour $t=1/{\omega }_0=3,3\mathrm{s}$, où $$|\delta v{|}_{\max }=\frac{F_p}{m{\omega }_0\mathrm{e}}=\frac{735}{1500\times 0,3\times 2,718}=0,60\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},$$ $$\text{soit}2,2km/h\le 2,5km/h.$$ Remarque : vis-à-vis de la consigne, la boucle fermée a un zéro, $-K_i/K_p=-0,15{\mathrm{s}}^{-1}$, apporté par le correcteur ; c'est lui qui crée le dépassement de $2,4km/h$ ($12\%$ de l'échelon) malgré des pôles doubles réels.

4) La saturation et l'emballement de l'intégrateur. Récurrence d'Euler explicite. On note $v_k$, $I_k$ (intégrale de l'écart) et $F_k$ les valeurs à l'instant $t_k=k\Delta t$ : $$e_k=v_c-v_k,u_k=K_p{e}_k+K_i{I}_k,F_k=\min (u_k,F_{\max }),$$ $$I_{k+1}=I_k+\Delta t{e}_k,v_{k+1}=v_k+\frac{\Delta t}{m}\left(F_k-\frac{1}{2}\rho S{C}_x{v}_k^2-C_{r}mg-mg\sin {\alpha }_k\right).$$ Initialisation : $v_0=25\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $K_i{I}_0=F_0$, pour que le correcteur parte de la force d'équilibre. Intégration conditionnelle : $I_{k+1}=I_k$ lorsque $F_k\ne u_k$. Pas : $\Delta t=0,01\mathrm{s}\ll 1/{\omega }_0$.

Pourquoi $8,2km/h$. Au saut, $e=5,56\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ et le correcteur demande $u=879\times 5,56+439=5320\mathrm{N}$, trois fois et demie ce que le moteur fournit : la commande est en butée, l'accélération plafonne à $\frac{1500-439}{1500}=0,71\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$, et le modèle linéaire ne vaut plus. Pendant les $11,4\mathrm{s}$ de butée, l'intégrateur continue d'accumuler : le terme intégral passe de $440$ à $3120\mathrm{N}$, alors que $569\mathrm{N}$ suffisent à $110km/h$. La commande ne quitte la butée que lorsque $K_{p}e=1500-3120$, soit $e=-1,85\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : la voiture roule déjà à $116,6km/h$, et il faut un long écart négatif pour vider l'intégrateur. C'est l'emballement de l'intégrateur.

Pourquoi l'intégration conditionnelle. Gelé pendant la butée, le terme intégral reste à $439\mathrm{N}$ ; la commande quitte la butée quand $K_{p}e=1500-439$, soit $e=1,21\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, à $105,7km/h$. Le correcteur reprend la main près de la consigne, dans son domaine linéaire : $0,3km/h$ de dépassement, et $t_{5\%}=8,8\mathrm{s}$, fixé par l'accélération disponible.

5) Bilan.

(IC : intégration conditionnelle.)

Le réglage linéaire est bon ; c'est le modèle qui cesse d'être valable quand l'actionneur sature.

Ce que l'exercice installe. La linéarisation autour d'un point de fonctionnement (tangente, équilibre qui élimine les constantes, paramètres qui dépendent du point) ; le réglage d'un PI par placement des pôles ; l'écart nul vis-à-vis d'une perturbation en aval de l'intégrateur. Et la saturation comme limite de validité : pendant la butée, l'intégrateur accumule un écart que la commande ne peut pas traduire, puis le restitue en dépassement ; une simulation par Euler explicite le montre, l'intégration conditionnelle l'évite.