sciences industrielles (PT) · Chapitre 10 · Application directe du cours

Programmer l'avance de phase d'un axe de machine-outil

Systèmes asservis : correction · niveau 2

Énoncé

L'axe d'une fraiseuse à grande vitesse est asservi en position (retour unitaire). Sa FTBO non corrigée est

$H (p) = \frac{K _{v}}{p ( 1 + τ _{m} p ) ( 1 + \frac{2 ξ _{r}}{ω _{r}} p + \frac{p ^{2}}{ω _{r}^{2}} )},$

avec $K_{v} = 100 s^{- 1}$ , $τ_{m} = 20 ms$ , $ω_{r} = 350 rad s^{- 1}$ , $ξ_{r} = 0, 08$ . Une cellule d'avance de phase $C (p) = \frac{1 + a T p}{1 + T p}$ , $a = 1, 94$ , $T = 9, 13 ms$ , a été réglée en continu : elle donne $M_{φ} = 48, 9^{\circ}$ à $ω_{c} = 78, 6 rad s^{- 1}$ et $M_{G} = 10, 3 dB$ , pour une exigence $M_{φ} \geq 4 5^{\circ}$ . Elle est programmée dans le calculateur de la commande d'axe, qui lit le codeur de position, calcule l'écart $e_{k}$ et la sortie $u_{k}$ de la cellule à chaque période $T_{e}$ , et bloque la consigne de vitesse $K_{v} u$ jusqu'à la période suivante.

Par le schéma arrière, établir la récurrence $u_{k} = α u_{k - 1} + β_{0} e_{k} - β_{1} e_{k - 1}$ ; exprimer $α$ , $β_{0}$ , $β_{1}$ et vérifier le gain statique. Calculer les coefficients pour $T_{e} = 1 ms$ .
La commande bloquée équivaut en moyenne à un retard de $T_{e} /2$ . Estimer la marge de phase de la boucle programmée pour $T_{e} = 0, 5$ ; $1$ ; $2$ ; $5 ms$ .
Une simulation de la boucle échantillonnée (procédé continu, récurrence, bloqueur) donne les marges de phase $47, 4^{\circ}$ ; $46, 0^{\circ}$ ; $43, 1^{\circ}$ ; $34, 6^{\circ}$ , et la phase apportée à $ω_{c}$ par la cellule programmée, $18, 3^{\circ}$ ; $17, 9^{\circ}$ ; $17, 3^{\circ}$ ; $15, 3^{\circ}$ (données). Comparer à l'estimation et expliquer l'écart restant. Quelle période choisir ?
Un pas de codeur $q = 1 μ m$ apparaît sur l'écart. De combien saute la consigne de vitesse, pour $T_{e} = 1 ms$ ? Comparer au seul gain $K_{v}$ et conclure.

Corrigé

Équation différentielle. $(1 + T p) U = (1 + a T p) E$ donne $u + T \frac{d u}{d t} = e + a T \frac{d e}{d t}$ . Schéma arrière à l'instant $t_{k}$ :

$u_{k} + T \frac{u _{k} - u _{k - 1}}{T _{e}} = e_{k} + a T \frac{e _{k} - e _{k - 1}}{T _{e}},$

d'où, en multipliant par $T_{e}$ ,

$(T + T_{e}) u_{k} = T u_{k - 1} + (T_{e} + a T) e_{k} - a T e_{k - 1},$

soit $α = \frac{T}{T + T _{e}}$ , $β_{0} = \frac{T _{e} + a T}{T + T _{e}}$ , $β_{1} = \frac{a T}{T + T _{e}}$ . Gain statique : pour $e_{k} = e$ constant, la suite converge (car $0 < α < 1$ ) vers $u = \frac{β _{0} - β _{1}}{1 - α} e = \frac{T _{e} / ( T + T _{e} )}{T _{e} / ( T + T _{e} )} e = e$ : gain $1$ , comme $C (0)$ . Pour $T_{e} = 1 ms$ : $T + T_{e} = 10, 13 ms$ , $a T = 17, 71 ms$ , d'où $α = 0, 901$ , $β_{0} = 1, 847$ , $β_{1} = 1, 748$ . Le calculateur exécute, à chaque période : lire $x_{k}$ , $e_{k} = x_{c} - x_{k}$ , $u_{k} = 0, 901 u_{k - 1} + 1, 847 e_{k} - 1, 748 e_{k - 1}$ , envoyer $K_{v} u_{k}$ , garder $e_{k}$ et $u_{k}$ pour la période suivante.

Estimation. Le retard $T_{e} /2$ coûte $ω_{c} T_{e} /2$ radians : $78, 6 \times 0, 25 \cdot 1 0^{- 3} = 0, 0197 rad = 1, 1^{\circ}$ pour $0, 5 ms$ ; puis $2, 3^{\circ}$ , $4, 5^{\circ}$ et $11, 3^{\circ}$ . Marges estimées : $47, 8^{\circ}$ ; $46, 7^{\circ}$ ; $44, 4^{\circ}$ ; $37, 7^{\circ}$ .
Comparaison.

$T_{e}$ (ms)	$0, 5$	$1$	$2$	$5$
$M_{φ}$ estimée	$47, 8^{\circ}$	$46, 7^{\circ}$	$44, 4^{\circ}$	$37, 7^{\circ}$
$M_{φ}$ simulée	$47, 4^{\circ}$	$46, 0^{\circ}$	$43, 1^{\circ}$	$34, 6^{\circ}$
écart	$0, 4^{\circ}$	$0, 7^{\circ}$	$1, 4^{\circ}$	$3, 1^{\circ}$
phase perdue par la cellule	$0, 4^{\circ}$	$0, 7^{\circ}$	$1, 4^{\circ}$	$3, 3^{\circ}$

(Estimation : $48, 9^{\circ} - ω_{c} T_{e} /2$ ; phase perdue par la cellule : $18, 6^{\circ}$ moins la phase de la cellule programmée.) L'écart restant est, à quelques dixièmes de degré près, la phase que la cellule programmée perd à la coupure ( $φ_{m a x} = 18, 6^{\circ}$ en continu, d'après $sin φ_{m a x} = \frac{a - 1}{a + 1}$ ). Le schéma arrière n'approche la dérivée que si $T_{e}$ est petit devant $T$ : $T_{e} / T = 0, 055$ ; $0, 11$ ; $0, 22$ ; $0, 55$ . À $1 ms$ , le bilan se lit : $48, 9 2^{\circ} - 2, 2 5^{\circ} - 0, 7 1^{\circ} = 45, 9 6^{\circ}$ .

Choix. L'exigence $4 5^{\circ}$ est tenue à $1 ms$ ( $46, 0^{\circ}$ ), plus à $2 ms$ ( $43, 1^{\circ}$ ), et la boucle perd $1 4^{\circ}$ à $5 ms$ . On retient $T_{e} \leq 1 ms$ , soit $ω_{c} T_{e} \leq 0, 08$ et $T_{e} \leq T /9$ : c'est l'ordre de grandeur des périodes d'une commande d'axe. L'estimation par le seul retard $T_{e} /2$ aurait suffi à rejeter $2 ms$ ( $44, 4^{\circ}$ ), mais elle est optimiste.

Quantification. Le pas $q$ fait sauter l'écart de $q$ , donc $u$ de $β_{0} q$ et la consigne de vitesse de $K_{v} β_{0} q = 100 \times 1, 847 \times 1 0^{- 6} m = 0, 18 mm s^{- 1}$ , contre $K_{v} q = 0, 10 mm s^{- 1}$ pour le seul gain : presque deux fois plus. Le saut décroît ensuite (le terme $- β_{1} e_{k - 1}$ et la mémoire $α u_{k - 1}$ ramènent $u$ vers $q$ en quelques $T$ ). Comme $β_{0} \to a$ quand $T_{e} ≪ T$ , réduire $T_{e}$ rapproche le saut de $a K_{v} q$ : l'avance de phase, de gain $a$ en hautes fréquences, amplifie le bruit de quantification, ce qui est une raison de plus de limiter $a$ .

Conclusion. Programmer une avance de phase, c'est écrire une récurrence à trois coefficients qui conserve le gain statique ; la période d'échantillonnage retire de la marge par le blocage ( $ω_{c} T_{e} /2$ ) et par la déformation de la cellule (si $T_{e}$ n'est pas petit devant $T$ ) : ici $T_{e} \leq 1 ms$ tient l'exigence de $4 5^{\circ}$ .

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