sciences industrielles (PT) · Chapitre 2 · Exercice de TD

La meuleuse d'angle : deux rotors, deux rotations à composer

Cinétique des Solides et des Systèmes · C. Cinétique d'un ensemble de solides · niveau 2

Énoncé

Une meuleuse d'angle de $230 mm$ comprend : le carter $1$ , que l'opérateur tient en main, de forme allongée suivant $x_{1}$ ; l'induit $2$ du moteur, rotor équilibré d'axe $(G_{2}, x_{1})$ fixe dans le carter, qui tourne par rapport au carter à $ω_{r}$ ; le disque $3$ (disque abrasif, flasques et broche), équilibré, d'axe $(G_{3}, z_{1})$ perpendiculaire à $x_{1}$ , entraîné par un couple conique de rapport $1/3$ . La base $B_{1} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ est liée au carter, et l'on pose $Ω (2/1) = ω_{r} x_{1}$ , $Ω (3/1) = ω_{d} z_{1}$ . Données (fournies) : moment d'inertie de l'induit sur son axe $J_{r} = 2, 5 \times 1 0^{- 4} kg m^{2}$ ; moment d'inertie du disque sur son axe $C_{d} = 3, 3 \times 1 0^{- 3} kg m^{2}$ , et sur un diamètre $A_{d} = C_{d} /2$ ; disque à $6600 tr mi n^{- 1}$ par rapport au carter. Pendant un geste, l'opérateur fait tourner le carter à la vitesse de rotation $Ω_{p} = Ω (1/0)$ , constante, de norme $2 rad s^{- 1}$ (geste vif). On admet que, moteur arrêté, l'outil tournerait autour d'un axe principal passant par son centre d'inertie, de sorte que seule la rotation des rotors crée un couple gyroscopique.

Cahier des charges (ergonomie, valeurs fournies) : couple parasite au poignet, outil tenu d'une main, au plus $3 N m$ ; outil tenu à deux mains, poignées distantes de $0, 30 m$ , effort parasite au plus $30 N$ par main.

1) Écrire $Ω (2/0)$ et $Ω (3/0)$ . Que valent $ω_{d}$ et $ω_{r}$ ? Vitesse périphérique du disque ?

2) Montrer que, pour tout point $A$ , $σ (A, 2/0) = σ (A, 2^{*} /0) + J_{r} ω_{r} x_{1}$ , où $2^{*}$ désigne l'induit supposé bloqué sur le carter, et que les résultantes sont égales. Même résultat pour le disque. En déduire que le torseur cinétique de l'outil $E = {1, 2, 3}$ est celui de l'outil moteur arrêté, augmenté d'un couple de moment $h = J_{r} ω_{r} x_{1} + C_{d} ω_{d} z_{1}$ .

3) Calculer $h$ , sa norme, et l'angle qu'il fait avec l'axe du disque. Comparer le terme $A_{d} Ω_{p}$ à $C_{d} ω_{d}$ .

4) Le couple gyroscopique admis donne le moment que l'opérateur doit exercer : $Γ = Ω_{p} \land h$ . Le calculer pour trois gestes : (a) ponçage à plat, disque horizontal, balayage autour de la verticale $z_{1}$ ; (b) rotation du poignet autour du corps de l'outil, $x_{1}$ ; (c) basculement autour de $y_{1}$ . Quel geste est le plus pénalisant ?

5) Conclure sur le cahier des charges. Un modèle « disque seul » aurait-il conduit à la même conclusion ? Cas limites.

Corrigé

La stratégie. Composer les rotations d'abord : chaque rotor tourne par rapport au carter, et le carter par rapport au sol. Puis exploiter la forme du résultat : la rotation propre d'un rotor équilibré n'ajoute rien à la résultante, elle ajoute un couple. Le moment cinétique interne de l'outil se calcule alors sans choisir de point.

1) Composition des rotations. Par composition des vitesses de rotation : $Ω (2/0) = Ω (2/1) + Ω (1/0) = ω_{r} x_{1} + Ω_{p}, Ω (3/0) = ω_{d} z_{1} + Ω_{p} .$ $ω_{d} = 6600 \times 2 π /60 = 691 rad s^{- 1}$ ; le couple conique (roulement sans glissement au contact des cercles primitifs) impose $ω_{r} = 3 ω_{d} = 2073 rad s^{- 1}$ , soit $19800 tr mi n^{- 1}$ . Vitesse périphérique du disque : $691 \times 0, 115 = 79, 5 m s^{- 1}$ , au plus près de la limite de $80 m s^{- 1}$ marquée sur les disques abrasifs de $230 mm$ .

2) La rotation propre ajoute un couple. Le centre d'inertie $G_{2}$ est sur l'axe de l'induit, fixe dans le carter : $V (G_{2} /0) = V (G_{2} \in 1/0)$ , si bien que $P (2/0) = m_{2} V (G_{2} /0) = P (2^{*} /0)$ . L'induit étant de révolution autour de $x_{1}$ , sa matrice en $G_{2}$ est $diag (J_{r}, A_{r}, A_{r})$ dans toute base contenant $x_{1}$ , en particulier dans $B_{1}$ , qui n'est pourtant pas liée à l'induit. Alors, par transport depuis $G_{2}$ : $σ (A, 2/0) = [I (G_{2}, 2)] (ω_{r} x_{1} + Ω_{p}) + A G_{2} \land m_{2} V (G_{2} /0) = σ (A, 2^{*} /0) [I (G_{2}, 2)] Ω_{p} + A G_{2} \land m_{2} V (G_{2} \in 1/0) + J_{r} ω_{r} x_{1} .$ Le terme ajouté ne dépend pas de $A$ et la résultante n'a pas changé : c'est un couple. De même $σ (A, 3/0) = σ (A, 3^{*} /0) + C_{d} ω_{d} z_{1}$ . En sommant au même point $A$ : ${C (E /0)} = {C (E^{*} /0)} + {0 h}, h = J_{r} ω_{r} x_{1} + C_{d} ω_{d} z_{1},$ où $E^{*}$ est l'outil moteur arrêté, et $h$ le moment cinétique interne des rotors, le même en tout point : il n'y a plus de point à choisir.

3) Valeurs. $h_{r} = J_{r} ω_{r} = 2, 5 \times 1 0^{- 4} \times 2073 = 0, 518 N m s$ ; $h_{d} = C_{d} ω_{d} = 3, 3 \times 1 0^{- 3} \times 691 = 2, 28 N m s$ ; $∥ h ∥ = h_{r}^{2} + h_{d}^{2} = 2, 34 N m s$ . L'induit, petit mais trois fois plus rapide, pèse $23 %$ du disque, et $h$ fait avec l'axe du disque l'angle $arctan (0, 518/2, 28) = 12, 8^{\circ}$ . Le terme transversal $A_{d} Ω_{p} = 1, 65 \times 1 0^{- 3} \times 2 = 3, 3 \times 1 0^{- 3} N m s$ vaut $0, 14 %$ de $C_{d} ω_{d}$ : ici, contrairement à bien des mécanismes lents, l'approximation gyroscopique (ne garder que la rotation propre) est pleinement justifiée, mais il fallait composer les rotations pour le savoir.

4) Trois gestes. (a) $Ω_{p} = Ω_{p} z_{1}$ : $Γ = Ω_{p} z_{1} \land (h_{r} x_{1} + h_{d} z_{1}) = Ω_{p} h_{r} y_{1}$ , de norme $2 \times 0, 518 = 1, 04 N m$ : seul l'induit contribue, le disque tournant autour de l'axe même du geste. (b) $Ω_{p} = Ω_{p} x_{1}$ : $Γ = Ω_{p} h_{d} x_{1} \land z_{1} = - Ω_{p} h_{d} y_{1}$ , de norme $4, 56 N m$ : seul le disque contribue. (c) $Ω_{p} = Ω_{p} y_{1}$ , perpendiculaire à $h$ : $Γ = Ω_{p} (h_{d} x_{1} - h_{r} z_{1})$ , de norme $Ω_{p} ∥ h ∥ = 4, 68 N m$ . C'est le maximum possible, atteint pour tout geste perpendiculaire à $h$ ; l'outil réagit sur la main par $- Γ$ , perpendiculaire au geste : on veut basculer, la meuleuse se met à tourner autour d'un autre axe.

5) Conclusion. Tenue d'une main : $4, 68 N m > 3 N m$ , non conforme ( $+ 56 %$ ) ; il faudrait limiter les gestes à $3/2, 34 = 1, 3 rad s^{- 1}$ . Tenue à deux mains, dans le cas le plus défavorable (couple perpendiculaire à la ligne des poignées) : $F = 4, 68/0, 30 = 15, 6 N \leq 30 N$ , conforme. D'où la règle d'usage : une meuleuse de $230 mm$ se tient à deux mains, poignée latérale montée. Le modèle « disque seul » donne $4, 56$ au lieu de $4, 68 N m$ dans le cas le plus défavorable ( $- 2, 5 %$ , même conclusion), mais il prédit un couple nul dans le geste (a), où l'opérateur sent $1 N m$ : l'induit ne se néglige pas. Cas limites : un geste parallèle à $h$ , incliné de $12, 8^{\circ}$ sur l'axe du disque, ne demande aucun couple ; moteur arrêté, $h = 0$ et l'outil ne présente plus que son inertie de solide ; inverser le sens de l'induit change la direction de $h$ , pas sa norme.

Ce que l'exercice installe. Composer les rotations avant tout calcul : $Ω (rotor /0) = Ω (rotor / carter) + Ω (carter /0)$ . La rotation propre d'un rotor équilibré (centre d'inertie sur son axe, fixe dans le porteur) ajoute au torseur cinétique un couple $C ω e$ : le même en tout point. Les rotors d'axes différents s'additionnent vectoriellement, et l'effet gyroscopique d'un outil vient de $h$ , pas du seul disque.

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