Problème : le robot SCARA, l'inertie vue par l'axe 1 change avec la posture

La stratégie. Rien d'autre que la cinétique d'un ensemble : rotation absolue de chaque bras, choix d'un point de réduction par solide (un point fixe lié, sinon le centre d'inertie et le transport), additivité en un point commun, le point fixe $O$ de l'axe 1. La loi du moment cinétique autour de l'axe fixe, admise, ne sert qu'aux conclusions de la question 5.

1) Paramétrage et rotations absolues. $\overrightarrow{\Omega }(1/0)={\dot{\theta }}_1{\overrightarrow{z}}_0$ et, par composition, $\overrightarrow{\Omega }(2/0)=\overrightarrow{\Omega }(2/1)+\overrightarrow{\Omega }(1/0)=({\dot{\theta }}_1+{\dot{\theta }}_2){\overrightarrow{z}}_0$ : c'est la rotation absolue du bras 2, et non ${\dot{\theta }}_2$, qui entre dans son moment cinétique. Par dérivation de $\overrightarrow{O{G}_2}=L_1{\overrightarrow{x}}_1+a_2{\overrightarrow{x}}_2$ : $$\overrightarrow{V}(G_2/0)=L_1{\dot{\theta }}_1{\overrightarrow{y}}_1+a_2({\dot{\theta }}_1+{\dot{\theta }}_2){\overrightarrow{y}}_2,\overrightarrow{V}(B/0)=L_1{\dot{\theta }}_1{\overrightarrow{y}}_1+L_2({\dot{\theta }}_1+{\dot{\theta }}_2){\overrightarrow{y}}_2.$$ L'hypothèse « ${\overrightarrow{z}}_0$ principal » simplifie : sinon, les produits d'inertie donneraient à $\overrightarrow{\sigma }(O)$ des composantes horizontales, qui chargent le roulement de l'axe 1 mais n'entrent pas dans l'équation de son mouvement.

2) Un point par solide. Bras 1 : $O$ est fixe et lié au bras 1, donc $\overrightarrow{\sigma }(O,1/0)=[I(O,1)]\overrightarrow{\Omega }(1/0)$, et par Huygens ${\sigma }_z(O,1/0)=(J_1+m_1{a}_1^2){\dot{\theta }}_1$. Bras 2 : $A$ est lié au bras 2 mais mobile, $\overrightarrow{V}(A\in 2/0)=L_1{\dot{\theta }}_1{\overrightarrow{y}}_1$, qui n'est pas colinéaire à $\overrightarrow{A{G}_2}$ en général ; on passe par $G_2$ et l'on transporte en $O$ : $${\sigma }_z(O,2/0)=J_2({\dot{\theta }}_1+{\dot{\theta }}_2)+m_2(\overrightarrow{O{G}_2}\wedge \overrightarrow{V}(G_2/0))\cdot {\overrightarrow{z}}_0.$$ Avec ${\overrightarrow{x}}_1\wedge {\overrightarrow{y}}_1={\overrightarrow{x}}_2\wedge {\overrightarrow{y}}_2={\overrightarrow{z}}_0$ et ${\overrightarrow{x}}_1\wedge {\overrightarrow{y}}_2={\overrightarrow{x}}_2\wedge {\overrightarrow{y}}_1=\cos {\theta }_2{\overrightarrow{z}}_0$ : $${\sigma }_z(O,2/0)=J_2({\dot{\theta }}_1+{\dot{\theta }}_2)+m_2[L_1^2{\dot{\theta }}_1+a_2^2({\dot{\theta }}_1+{\dot{\theta }}_2)+L_1{a}_2\cos {\theta }_2(2{\dot{\theta }}_1+{\dot{\theta }}_2)].$$ La charge se traite de même, en remplaçant $J_2$, $m_2$, $a_2$ par $J_c$, $m_c$, $L_2$.

3) Additivité au même point. Les trois moments sont en $O$ ; on les additionne et l'on regroupe les termes en ${\dot{\theta }}_1$ et en ${\dot{\theta }}_2$ : $$J_{11}=J_1+J_2+J_c+m_1{a}_1^2+m_2(L_1^2+a_2^2)+m_c(L_1^2+L_2^2)+2L_1(m_2{a}_2+m_c{L}_2)\cos {\theta }_2,$$ $$J_{12}=J_2+J_c+m_2{a}_2^2+m_c{L}_2^2+L_1(m_2{a}_2+m_c{L}_2)\cos {\theta }_2.$$ Numériquement (en $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$) : $J_{11}=1,396+0,926\cos {\theta }_2$ et $J_{12}=0,357+0,463\cos {\theta }_2$.

$J_{11}$ est l'inertie vue par l'axe 1 quand l'axe 2 est immobile : elle dépend de la posture, parce que la distance de la charge à l'axe 1 en dépend. $J_{12}$ mesure le couplage : le mouvement de l'axe 2 contribue au moment cinétique sur l'axe 1.

4) Exigence E1. Sur le débattement, $J_{11}$ varie de $2,32$ (bras tendu) à $0,638\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$ (en butée) : rapport $3,64>3$, non conforme. Le rapport 3 est atteint pour $J_{11}=2,32/3=0,774$, soit $\cos {\theta }_2=-0,672$ et ${\theta }_2=132,2^{\circ }$. Deux remèdes : limiter le débattement à $\pm 132^{\circ }$, ou adapter les gains de l'axe 1 en fonction de ${\theta }_2$, mesuré en permanence, ce que font les contrôleurs industriels.

5) a) Le couple de couplage. Axe 1 immobile : ${\sigma }_z=J_{12}({\theta }_2){\dot{\theta }}_2$, et la loi admise donne le couple $C_1$ que le moteur 1 doit fournir (les autres actions extérieures ont un moment nul autour de l'axe vertical : poids parallèles à l'axe, pivot parfait) : $C_1=J_{12}{\ddot{\theta }}_2+\frac{\mathrm{d}{J}_{12}}{\mathrm{d}{\theta }_2}{\dot{\theta }}_2^2$, qui vaut au démarrage (${\dot{\theta }}_2=0$) $C_1=0,820\times 100=82\mathrm{N}\mathrm{m}$ bras tendu, et $36\mathrm{N}\mathrm{m}$ en partant de ${\theta }_2=90^{\circ }$. Le moteur 1 doit fournir ce couple pour rester immobile : l'axe 2 ne peut pas bouger sans solliciter l'axe 1.

b) Exigence E2. Frein lâché, moteur 1 coupé : les actions extérieures à $\Sigma$ ont un moment nul autour de l'axe, ${\sigma }_z$ se conserve, et il est nul au départ. Donc $J_{11}{\dot{\theta }}_1+J_{12}{\dot{\theta }}_2=0$, soit $\mathrm{d}{\theta }_1=-\frac{J_{12}({\theta }_2)}{J_{11}({\theta }_2)}\mathrm{d}{\theta }_2$, une relation qui ne dépend pas de la loi horaire de l'axe 2 : $$\Delta {\theta }_1=-{\int }_0^{\pi /2}\frac{0,357+0,463\cos u}{1,396+0,926\cos u}\mathrm{d}u=-29,2^{\circ }.$$ Le schéma d'Euler explicite, avec le pas $h=\frac{\pi /2}{20}$ et ${\theta }_2^{(k)}=kh$, s'écrit ${\theta }_1^{(k+1)}={\theta }_1^{(k)}-h\frac{J_{12}({\theta }_2^{(k)})}{J_{11}({\theta }_2^{(k)})}$ :

from math import pi, cos, degrees
J11 = lambda u: 1.39625 + 0.92625*cos(u)
J12 = lambda u: 0.356875 + 0.463125*cos(u)
n = 20; h = (pi/2)/n; t1 = 0.0
for k in range(n):
    t1 -= h*J12(k*h)/J11(k*h)
print(degrees(t1))    # -29.39

On trouve $-29,4^{\circ }$, à $0,2^{\circ }$ de la valeur exacte : le schéma surestime légèrement la rotation, parce que le rapport $J_{12}/J_{11}$ décroît et qu'Euler explicite l'évalue au début de chaque pas (avec 100 pas, $-29,22^{\circ }$ : l'erreur décroît comme $h$). Le bras 1 tourne de $29^{\circ }$, trois fois la limite : non conforme. Il faut un frein redondant sur l'axe 1, ou interdire tout mouvement de l'axe 2 tant que l'axe 1 n'est pas tenu (par son frein ou par son moteur asservi).

6) Validation et cas limites. Rotor du moteur 2. Il est porté par le bras 1 et tourne, par rapport à lui, à $80{\dot{\theta }}_2$ : sa rotation absolue est ${\dot{\theta }}_1+80{\dot{\theta }}_2$ (composition, encore). Il ajoute $J_m$ à $J_{11}$ et $80J_m=1,2\times 10^{-3}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$ à $J_{12}$, soit $0,15\%$ : négligeable dans le moment cinétique. Il ne le serait pas dans un bilan d'énergie ramené au moteur 2, où il compte pour $80^2{J}_m=0,096\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$ : le moment cinétique et l'énergie ne pondèrent pas les rotors rapides de la même façon. Rotation relative à la place de la rotation absolue. Écrire $J_2{\dot{\theta }}_2$ au lieu de $J_2({\dot{\theta }}_1+{\dot{\theta }}_2)$, et de même pour la charge, retire $J_2+J_c=0,040\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$ de $J_{11}$ : $1,7\%$ bras tendu, mais $6,3\%$ en butée, là précisément où l'exigence E1 se joue. Posture de découplage. $J_{12}$ s'annule pour $\cos {\theta }_2=-0,771$, soit ${\theta }_2=140,4^{\circ }$ : dans cette posture, l'axe 2 démarre sans solliciter l'axe 1 ; au-delà, $J_{12}$ change de signe et le bras 1 serait entraîné dans l'autre sens. Bras replié ($180^{\circ }$, hors débattement) : $J_{11}=0,47\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$, cinq fois moins que bras tendu.

Le résultat obtenu — le moment cinétique d'un robot SCARA sur son premier axe. Pour un robot à deux axes parallèles, le moment cinétique de l'ensemble par rapport à l'axe fixe du premier s'écrit ${\sigma }_z(O)=J_{11}({\theta }_2){\dot{\theta }}_1+J_{12}({\theta }_2){\dot{\theta }}_2$, avec $J_{11}=J_1+J_2+J_c+m_1{a}_1^2+m_2(L_1^2+a_2^2)+m_c(L_1^2+L_2^2)+2L_1(m_2{a}_2+m_c{L}_2)\cos {\theta }_2$ et $J_{12}=J_2+J_c+m_2{a}_2^2+m_c{L}_2^2+L_1(m_2{a}_2+m_c{L}_2)\cos {\theta }_2$ : c'est la première ligne de la matrice d'inertie du robot. L'inertie vue par l'axe 1 dépend de la posture, et le terme de couplage $J_{12}$ interdit à l'axe 2 de bouger sans solliciter l'axe 1. Pour le robot étudié, $J_{11}$ varie de $2,32$ à $0,64\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$ (facteur $3,6$) et, frein lâché, un quart de tour de l'axe 2 fait tourner le bras 1 de $29^{\circ }$.

Ce que le problème installe. La méthode complète pour un ensemble articulé : rotations absolues par composition, un point de réduction par solide (le point fixe lié s'il existe, sinon le centre d'inertie et le transport), additivité en un point commun. Le résultat a la forme d'une matrice d'inertie de mécanisme, dont les termes dépendent de la configuration ; il conduit, avec la loi du moment cinétique admise, aux deux conclusions qu'un cahier des charges de robotique attend : la plage d'inertie que doit tolérer l'asservissement, et le couplage entre les axes.