Train de répartition de puissance d'un véhicule hybride

1. Porte-satellites immobile, le train est ordinaire : $S$ entraîne $P$ par un contact extérieur (inversion du sens), $P$ entraîne $R$ par un contact intérieur (même sens). La raison est $\lambda =\frac{{\omega }_{S/ps}}{{\omega }_{R/ps}}=-\frac{Z_R}{Z_S}=-2,6$, et la relation de Willis s'écrit

$$\frac{{\omega }_{S/0}-{\omega }_{ps/0}}{{\omega }_{R/0}-{\omega }_{ps/0}}=\lambda ,\text{d’ouˋ}\begin{array}{rl}{\omega }_{S/0}& ={\omega }_{ps/0}+\lambda ({\omega }_{R/0}-{\omega }_{ps/0})\\ & =2000-2,6\times 1000=-600\mathrm{tr}\cdot \mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}:\end{array}$$

la génératrice tourne en sens inverse du moteur. Vérification. Le centre $O_P$ du satellite a pour vitesse $a{\omega }_{ps/0}$, orthoradiale. Le point de $P$ en contact avec $R$, à la distance $a+r_P=r_R$ de l'axe, et le point de $P$ en contact avec $S$, à la distance $a-r_P=r_S$, ont les vitesses des points de $R$ et de $S$ qu'ils touchent :

$$a{\omega }_{ps/0}+r_P{\omega }_{P/0}=r_R{\omega }_{R/0},a{\omega }_{ps/0}-r_P{\omega }_{P/0}=r_S{\omega }_{S/0}.$$

En les additionnant, $r_S{\omega }_{S/0}=2a{\omega }_{ps/0}-r_R{\omega }_{R/0}$, soit ${\omega }_{S/0}=(2\times 27\times 2000-39\times 3000)/15=-600\mathrm{tr}\cdot \mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$ : le même résultat.

2. La relation de Willis entre $P$ et $S$ (contact extérieur) donne ${\omega }_{P/ps}=-\frac{Z_S}{Z_P}({\omega }_{S/0}-{\omega }_{ps/0})=-1,25\times (-2600)=3250\mathrm{tr}\cdot \mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$. Par composition, ${\omega }_{P/0}={\omega }_{P/ps}+{\omega }_{ps/0}=5250\mathrm{tr}\cdot \mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$, soit $549,8\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$. La première équation de la question 1 redonne ${\omega }_{P/0}=(39\times 3000-27\times 2000)/12=5250\mathrm{tr}\cdot \mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$.

3. Le point $O$ est fixe, mais il n'est pas lié au satellite : le point de $P$ qui coïncide avec $O$ a une vitesse non nulle, et $[I(O,P)]\overrightarrow{\Omega }(P/0)$ serait faux. On réduit au centre d'inertie $O_P$, puis on transporte. Masse : $m_P=7850\times \pi \times 0,012^2\times 0,020=7,10\times 10^{-2}\mathrm{kg}$. L'axe $(O_P,{\overrightarrow{z}}_0)$ est de révolution : $\overrightarrow{\sigma }(O_P,P/0)=\frac{1}{2}{m}_P{r}_P^2{\omega }_{P/0}{\overrightarrow{z}}_0$. Le transport ajoute $\overrightarrow{O{O}_P}\wedge m_P\overrightarrow{V}(O_P/0)$, de composante $m_P{a}^2{\omega }_{ps/0}$ sur ${\overrightarrow{z}}_0$ :

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_z(O,P/0)& =\frac{1}{2}{m}_P{r}_P^2{\omega }_{P/0}+m_P{a}^2{\omega }_{ps/0}\\ & =2,81\times 10^{-3}+1,084\times 10^{-2}=1,37\times 10^{-2}\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}.\end{array}$$

Les deux termes ont ici le même signe, parce que le satellite tourne dans le sens du porte-satellites, ce qui n'est pas le cas d'un train à couronne fixe. Avec la rotation relative ${\omega }_{P/ps}=340,3\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$, le premier terme tombe à $1,74\times 10^{-3}$ et le total à $1,258\times 10^{-2}\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}$ : $-7,8\%$. Le train complet. Les centres d'inertie de $S$, $R$ et $ps$ sont sur l'axe, immobiles ; ceux des quatre satellites, à $90^{\circ }$ les uns des autres, ont des quantités de mouvement opposées deux à deux : la résultante cinétique est nulle, et le torseur cinétique est un couple, de même moment en tout point. $S$, $R$ et $ps$ tournent autour de l'axe fixe, qui est leur axe de révolution, et $O$ est fixe et lié à chacun : ${\sigma }_z=J\omega$. En additionnant au même point $O$ :

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_z(O,\text{train}/0)& =4\times 1,366\times 10^{-2}+J_S{\omega }_{S/0}+J_R{\omega }_{R/0}+J_{ps}{\omega }_{ps/0}\\ & =0,0546-0,1257+0,6283+0,2094=0,767\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}.\end{array}$$

La contribution de la génératrice est négative : elle tourne à l'envers. Les satellites ne comptent que pour $7\%$ du total.

4. ${\omega }_{S/0}=0$ quand ${\omega }_{ps/0}+\lambda ({\omega }_{R/0}-{\omega }_{ps/0})=0$, soit ${\omega }_{R/0}={\omega }_{ps/0}(1+\frac{Z_S}{Z_R})=2000\times \frac{108}{78}=2769\mathrm{tr}\cdot \mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$ : à ce rapport, toute la puissance du moteur passe mécaniquement aux roues. Véhicule à l'arrêt, ${\omega }_{R/0}=0$ : ${\omega }_{S/0}=(1-\lambda ){\omega }_{ps/0}=3,6\times 2000=7200\mathrm{tr}\cdot \mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$. L'exigence est respectée, avec une marge de $28\%$. Elle limite le régime du moteur à l'arrêt à $10000/3,6=2778\mathrm{tr}\cdot \mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$ : la commande doit l'y plafonner tant que le véhicule ne roule pas.

Ce que l'exercice installe. La relation de Willis donne en une ligne les vitesses d'un train à deux entrées ; le roulement sans glissement aux contacts la vérifie. Pour le moment cinétique d'un satellite, on prend sa rotation absolue, on réduit en son centre et l'on transporte : le point $O$, fixe, n'est pas lié au satellite.