Deux formules pour la même variance

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · sciences numériques et technologie (seconde), chapitre 5 — Les fonctions · Lire une fonction statistique

Énoncé

La variance peut se calculer de deux façons : $\frac{1}{n} \sum (x_{i} - m)^{2}$ , ou $\frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - m^{2}$ . Les programmer toutes deux, vérifier qu'elles coïncident sur [4, 6, 8, 10, 12], puis les comparer sur [1000000.1, 1000000.2, 1000000.3].

Corrigé

def variance_A(L):
    m = sum(L) / len(L)
    return sum((x - m)**2 for x in L) / len(L)

def variance_B(L):
    m = sum(L) / len(L)
    return sum(x*x for x in L) / len(L) - m*m

print(variance_A([4, 6, 8, 10, 12]))   # 8.0
print(variance_B([4, 6, 8, 10, 12]))   # 8.0

L = [1000000.1, 1000000.2, 1000000.3]
print(variance_A(L))   # 0.006666... (correct)
print(variance_B(L))   # une valeur très différente, parfois négative

Sur la première liste, les deux formules donnent $8$ — elles sont algébriquement équivalentes, le développement de $(x - m)^{2}$ le montre.

Sur la seconde, la formule B s'effondre. Elle calcule la différence de deux nombres énormes et presque égaux (de l'ordre de $1 0^{12}$ ) dont le résultat attendu est minuscule : les chiffres significatifs se détruisent mutuellement, et il ne reste que du bruit d'arrondi. Il arrive même qu'elle renvoie une variance négative, ce qui est impossible.

Deux formules mathématiquement égales ne sont pas deux programmes égaux. C'est un phénomène de calcul en machine, pas de mathématiques.

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