Un capital et son doublement

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · sciences numériques et technologie (seconde), chapitre 5 — Les fonctions · Fonctions à plusieurs arguments

Énoncé

Un capital c est placé au taux annuel t (exprimé en pourcentage).

Écrire capital_apres(c, t, n) renvoyant le capital après n années.
Écrire annees_doublement(t) renvoyant le nombre d'années au bout desquelles un capital double, quel qu'il soit.
Vérifier que le résultat ne dépend pas du capital de départ, et le comparer à la « règle des $70$ » : $70/ t$ .

Corrigé

def capital_apres(c, t, n):
    for i in range(n):
        c = c * (1 + t / 100)
    return c

def annees_doublement(t):
    c = 1
    annees = 0
    while c < 2:
        c = c * (1 + t / 100)
        annees = annees + 1
    return annees

print(annees_doublement(2))    # 36
print(annees_doublement(5))    # 15
print(annees_doublement(10))   # 8

3. L'indépendance vis-à-vis du capital se voit en écrivant $c_{n} = c_{0} (1 + t /100)^{n}$ : la condition $c_{n} \geq 2 c_{0}$ se simplifie en $(1 + t /100)^{n} \geq 2$ , où $c_{0}$ a disparu. C'est pourquoi la fonction peut partir de $c = 1$ sans rien perdre en généralité.

Comparaison avec la règle des $70$ :

$t$	calcul exact	$70/ t$
2 %	36 ans	35
5 %	15 ans	14
10 %	8 ans	7

L'approximation est bonne, et légèrement optimiste — normal, puisqu'on arrondit à l'année entière supérieure. Elle vient de $ln 2 \approx 0, 69$ .

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